【数学】平行移動・対称移動・拡大縮小等

ここでは　グラフの平行移動等について扱います
数学I と 数学II にわたり横断的になりますから　その都度確認してください

軸に対する対称移動

まずは対称移動です

点の対称移動は次の通りです

点を対称移動すると$${x}$$座標，$${y}$$座標のいずれか一方，または双方の正負が逆転します

一方　グラフの対称移動は次のようになります

証明は軌跡(数学II)の知識が必要です(省略)

簡単に説明すると
$${x}$$軸対称　→　上下反転($${y}$$方向が逆)　→　$${y\ を\ -y\ に}$$
$${y}$$軸対称　→　左右反転($${x}$$方向が逆)　→　$${x\ を\ -x\ に}$$
原点対称　→　上下左右反転(2方向が逆)　→　$${x\ を\ -x\ に，y \ を\ -yに}$$

ということになります

平行移動

次は平行移動です
点の平行移動については
$${点(x，\ y)を\ x\ 軸方向に\ p，\ y \ 軸方向に\ q\ 平行移動すると}$$
$${(x，\ y)　→　(x+p，\ y+q)}$$　となります

一方，グラフの平行移動は次のようになります

これも軌跡(数学II)の知識が必要ですが，今回は証明しておきましょう

正負が逆転しているところは注意してください

拡大縮小

次は　グラフの拡大縮小です

逆数の関係になるのでやはり注意が必要です
簡単な例
$${y=x \ と\ y=2x，\ y=\dfrac{1}{2}x}$$，
$${y=x^2 \ と\ y=(2x)^2，\ y=\big(\dfrac{1}{2}\big)^2}$$
などで視覚的に理解しておけば良いです

注意点(何をどう移動したか)

何をどう移動したかというところには注意が必要です

$${y=a(x-p)^2+q}$$
　→$${y=ax^2 \ を\ x\ 軸方向に\ p，y\ 軸方向に\ q \ 平行移動}$$

$${y=3\sin (x+p) +1}$$
　→　$${y=3\sin x \ のグラフを \ x\ 軸方向に\ -p，y\ 軸方向に1平行移動}$$

$${y=\cos (2x-p) +1}$$
　→　$${y=\cos 2\big(x-\dfrac{p}{2}\big)+1}$$
　→　$${y=\cos 2x \ のグラフを \ x\ 軸方向に\ \dfrac{p}{2}，y\ 軸方向に1平行移動}$$

3つ目の例が注意です
$${f(x)}$$の$${x}$$が何に置き換わっているかを考えてください

y=x に関して対称移動

まずは　点の対称移動について

文系でも難関大学では　この「$${x=y^2}$$」のようなグラフは出てきます
単に軸がチェンジしているだけのグラフですから　難しいことはありません

偶関数と奇関数

周期関数