【数学】方程式の利用(次数下げ)

対象：定期試験以上

今回は　方程式の利用の1つである「次数下げ」についてお話します
数学IまたはIIの最初のほうに出てくるお話です
早速問題を通して確認しましょう
前提として，整式の除法　の知識が必要です

まともに代入すると計算が大変ですが
除法を利用して式変形をしてから　値を代入する
ことで計算量が一気に減ります

1つずつ確認すると　まず最初の3行で
$${x=1-\sqrt{5}}$$を解にもつ2次方程式を作ります

そのまま両辺2乗してもよいのですが
除法の際に係数に$${\sqrt{5}}$$があるとメンドウなので
係数が整数となるような2次方程式を作りました
たくさんの方程式を作ることができますが　簡単なものを選んだということです

よくあるQ&Aとしては次のようなものがあります

単なる式変形であり　因数分解や平方完成と同じ「恒等変形」です

また，得られた方程式　$${x^2-2x-4=0}$$　を変形して
$${x^2=2x+4}$$　として利用してもよいでしょう

$${x=1-\sqrt{5}}$$　のときには　$${x^2}$$　は　$${2x+4}$$　と等しいことから　2次式は1次式で表すことができる
すなわち　任意の$${n}$$次式は1次式で表すことができる
ということです
手間は少し増えますが　「次数下げ」　という言葉がしっくりきます
いくつかのところで，突然出てきます
定積分で
$${\displaystyle \int^{2-\sqrt{5}}_{0}(x^2+3x+1) \ dx}$$
のような場合もそうですね
「代入するのがメンドウだなー」という計算が出てきたら
これを利用できるようにておきましょう

というわけで　今回は　方程式の利用(次数下げ)でした