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【数学】積分漸化式
対象:理系(数学III)
今回は 積分漸化式 を確認しましょう
![](https://assets.st-note.com/img/1690125322651-C6pErpJE9W.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1690125344737-5JtTZq2Uuc.png?width=1200)
積分漸化式は 部分積分 を利用して作ります
今回の結果はすぐに使えるようにしておきましょう
![](https://assets.st-note.com/img/1690125366587-csBFlxDZX4.png?width=1200)
ちなみに 最後の項(最も左の項)について
$${n \ が偶数のとき → I_0=\dfrac{\pi}{2}}$$
$${n \ が奇数のとき → I_1=1}$$
となっていて,それぞれ次の面積の半分 を表しています
![](https://assets.st-note.com/img/1690212275452-b28xPH54Rr.png?width=1200)
難関大学では 積分計算の際に 誘導無しでこれを用いることがあります
次のように すぐに使えることが求められます
![](https://assets.st-note.com/img/1690211255471-JzkZ8Agogi.png?width=1200)
$${\displaystyle \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n x \ dx}$$ については
平行移動して考えれば $${\sin^n x}$$ の場合とまったく同様であることを視覚的に確認してください
その他 $${\tan^n x}$$ などもありますので 参考書等で確認しましょう
もう1問 対数 です
![](https://assets.st-note.com/img/1690125416433-fSCxZhxyaC.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1690125428842-kfdi1creTb.png?width=1200)
今回も 部分積分 ですが
対数関数の部分積分なので 隠れた($${x'}$$)を補って考えましょう
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