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【数学】定積分の公式(数II)
対象:定期試験以上
今回は 定積分の公式 を理解して使えるようにしましょう
準備として,次の公式は既知とします
理系が数学IIIで扱うものですが カンタンなものは数学IIの教科書(章末問題かも))に出ています
文系の人も覚えましょう
![](https://assets.st-note.com/img/1691318902420-zryGn2IXlQ.png?width=1200)
$${(x^n)'=nx^{n-1}}$$ と似ていて覚えやすいと思います
1つだけ $${f'(x)}$$ が加わるだけです
この微分の逆算を証明で用います
![](https://assets.st-note.com/img/1691318979169-55KFclpdU9.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1691318921000-d6JEUMMv0I.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1691319009405-i7qGNw9mM4.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1691319071474-tHd6DMyRll.png?width=1200)
さて,次です
![](https://assets.st-note.com/img/1691319142829-6SFpfb9bOh.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1691319160888-rnsqaaEncu.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1691319180049-dhW8K6OCGO.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1691319190515-PgZRXPRjoF.png?width=1200)
さて,次です
![](https://assets.st-note.com/img/1691319201840-0Yxlebj49G.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1691319215168-F3ntjKYL2y.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1691319233657-ewSoc7E4PB.png?width=1200)
どっちがどっちだっけ・・・とならないように
図形的な理解を必ずしてください
右上図は 定積分の値$${<0}$$ 左上図は 定積分の値$${>0}$$
ですね
因数分解と3次関数の概形についてはこちら
というわけで
![](https://assets.st-note.com/img/1691319249354-WlMvkw7MoA.png?width=1200)
さて ここまで「放物線と直線」や「3次関数と接線」などという表現をしてきましたが 実はそれらは1例に過ぎません
![](https://assets.st-note.com/img/1691319281691-ydjRjUxXt9.png?width=1200)
「式が同じになるから」結果も同じです
![](https://assets.st-note.com/img/1691319353668-JEnTwgPtbn.png?width=1200)
![](https://assets.st-note.com/img/1691319340258-0LAmC52ChU.png?width=1200)
結局 すべての関数から同じ関数を引いても 面積を求める定積分の式は同じなんですね
つまり 面積は保存される(変化しない)ということです
最後は 放物線と2接線です
![](https://assets.st-note.com/img/1691319377309-d3sylAVA2v.png?width=1200)
開き具合が同じ(つまり$${x^2}$$の係数が等しい)2つの放物線と
共通接線で囲まれる部分の面積も同じです
![](https://assets.st-note.com/img/1691319417829-GlxfdS91Lx.png?width=1200)
それぞれの関数から$${x^2}$$を引くと次のようになります
![](https://assets.st-note.com/img/1691319435330-LzOGbdUnJy.png?width=1200)
というわけで 今回は定積分の公式と面積のお話でした
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