【数学】定積分の公式(数II)

対象：定期試験以上

今回は　定積分の公式　を理解して使えるようにしましょう

準備として，次の公式は既知とします
理系が数学IIIで扱うものですが　カンタンなものは数学IIの教科書(章末問題かも))に出ています
文系の人も覚えましょう

$${(x^n)'=nx^{n-1}}$$　と似ていて覚えやすいと思います
1つだけ　$${f'(x)}$$　が加わるだけです
この微分の逆算を証明で用います

さて，次です

さて，次です

どっちがどっちだっけ・・・とならないように
図形的な理解を必ずしてください
右上図は　定積分の値$${<0}$$　左上図は　定積分の値$${>0}$$
ですね
因数分解と3次関数の概形についてはこちら

というわけで

さて　ここまで「放物線と直線」や「3次関数と接線」などという表現をしてきましたが　実はそれらは1例に過ぎません

「式が同じになるから」結果も同じです

結局　すべての関数から同じ関数を引いても　面積を求める定積分の式は同じなんですね
つまり　面積は保存される(変化しない)ということです

最後は　放物線と2接線です

開き具合が同じ(つまり$${x^2}$$の係数が等しい)2つの放物線と
共通接線で囲まれる部分の面積も同じです

それぞれの関数から$${x^2}$$を引くと次のようになります

というわけで　今回は定積分の公式と面積のお話でした