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【数学】3次関数の概形
対象:定期試験以上
今回は 3次関数の概形 についてのお話です
関数$${f(x)}$$の形を決めるのは 導関数$${f'(x)}$$です
微分をして$${f'(x)}$$の正負の変化を考え増減表を書きますよね
もう少し強調していえば $${f'(x)}$$のみで $${f(x)}$$の概形が決まります
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![](https://assets.st-note.com/img/1690956256383-071TlSqfJh.png?width=800)
このように$${f'(x)}$$の正負の変化がわかれば $${f(x)}$$の概形が決まるのですが
残念ながら $${y}$$方向の位置 までは決まりません
この$${y}$$方向の位置は $${f(x)}$$の定数項で決まります
積分のところで 積分定数$${C}$$が出てきますが あれです
![](https://assets.st-note.com/img/1690956273804-HzSpjeRowL.png?width=800)
![](https://assets.st-note.com/img/1690956300979-9BHit3WY1h.png?width=800)
さて 極値があるかどうか 概形がどうなっているのか は
$${f'(x)}$$を考えればわかるという話でしたが
次は $${x}$$軸との交点 すなわち $${f(x)=0}$$ の解との関係です
![](https://assets.st-note.com/img/1690956326164-HFsVgQTF7b.png?width=800)
![](https://assets.st-note.com/img/1690956343848-wQd4aAJSOA.png?width=800)
3次の係数$${a}$$の正負と どのように因数分解できるのか がわかると
やはり 概形が決まります(決まらない場合もある)
$${x}$$軸との交点の座標がわかれば 概形が決まるというのは
2次関数の場合と 同様ですね($${x}$$軸との交点がわかれば 平方完成せずともグラフがかけました)
ただ 因数分解を利用して概形を考えるときには
極値を与える$${x}$$の値がわからないんです(重解の場合にはわかる)
したがって 極大値極小値の問題ではなく
$${x}$$軸のとの交点が問題となる 3次不等式や定積分などで用います
以上 3次関数の概形 のお話でした
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