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【数学】第2次導関数の必要性
対象:定期試験以上
今回は いつ2回微分するの? というお話です
数学IIIでは 第2次導関数 というものが出てきます
直接的に述べられているのは 関数の凹凸 の部分ですね
問題で 「関数の凹凸を調べ そのグラフの概形をかけ」
と言われているときには 第2次導関数を調べる必要があります
ところがそれ以外でも第2次導関数を調べる必要がある場合があります
代表的なものは2つあり
1つ目は 異種混合型関数のグラフをかく(または増減を調べる)ときです
例えば
$${f(x)=e^x-\dfrac{x^2}{2} (x>0)}$$ のとき
$${f'(x)=e^x-x}$$
$${f''(x)=e^x-1>0 (\because \ x>0)}$$
よって $${f'(x)}$$は単調増加であり $${f'(0)=1}$$であるから
$${f'(x)>0}$$
よって $${f(x)}$$は単調増加であり $${f(0)=1}$$
ゆえに $${x>0}$$で $${f(x)>0}$$
のようになります
$${f'(x)=0}$$となるときがあるのかないのかわからないので
(今回ないことは視覚的に明らか)
$${f'(x)}$$のグラフはどうなるのかを調べるために
もう1回微分します
結局 異なる種類の関数が混ざっているので $${f'(x)}$$ の正負の変化がつかめないんですね
異なる種類が混ざるといっても 常に2回微分が必要なわけではなく
例えば $${f'(x)=e^x(\sin x -\cos x)}$$ などは
$${f'(x)=\sqrt{2}e^x\sin (x-\frac{\pi}{4})}$$ となって正負を調べることができます
というわけで これが1つ目でした
次の2つ目は 関数の凸性 を使うときです
グラフは接線より上側にある とか グラフは弦よりも下にあるなど
凸性による図形的な性質を使うときには
関数が上に凸(または下に凸)ということを保証するために
第2次導関数まで言及する必要があります
以上 第2次導関数のお話でした
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