![見出し画像](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/112265872/rectangle_large_type_2_55f953a990abae5d81649363b6313d39.jpeg?width=1200)
【数学】関数の凸性と不等式01
対象:定期試験以上
今回は 関数の凸性 について学習します
テーマは 接線とグラフの位置関係 です
上に凸か下に凸かは 第2次導関数$${f''(x)}$$の符号によって調べるのでした
そして 凸な関数は次のような性質をもちます
![](https://assets.st-note.com/img/1691805127771-QUPNWAQss9.png?width=1200)
関数全体で 凸方向が変化しない
または 問題で与えられた範囲で 凸方向が変化しない
という場合に グラフと接線の上下関係がわかる
というものです
基本的な問題で確認しましょう
![](https://assets.st-note.com/img/1691807281217-zbs0T6IcgI.png?width=1200)
まずは 普通に微分を用いての解答
![](https://assets.st-note.com/img/1691807299915-ytwJApVt4S.png?width=1200)
次は凸性を考えての解答
![](https://assets.st-note.com/img/1691807320318-yq3yo95idu.png?width=1200)
与不等式を 単純に微分で証明しようとするのか
図形的な意味を考えて 凸なグラフと接線の位置関係とみるのか
によって 証明が変わります
凸性を使わなきゃダメ ということではないのですが
図形的な考察もできることはメリットがあります
頻出なものは
$${e^x\geqq x+1}$$
$${\log x \leqq x-1 (x>0)}$$
$${\sin x \leqq x (0\leqq x\leqq \dfrac{\pi}{2})}$$
$${x\leqq \tan x (0\leqq x <\dfrac{\pi}{2})}$$
と それらを平行移動等したものです
いずれも,凸性が変わらない関数と接線の関係となります
凸性を利用した解答をする場合には
必ず 第2次導関数$${f''(x)}$$を計算し 凸性に言及しましょう
続きはこちら
この記事が気に入ったらサポートをしてみませんか?