診療看護師(NP)が麻酔管理料Ⅱを取れるようになりましたが、何かあった時に医師がいないといけないので、残業ができず給料が少ないと言っています。

具体的な数字が分からないので多い少ないは分かりませんが、それ以外の部分は個人的にはその通りだと思います。
診療看護師(NP)は、法律上は看護師です。
そして、看護師の業は療養上の世話と診療の補助であり、診療の補助は医師の指示のもと実施しています。
なので、診療看護師(NP)は医師の指示のもと診療の補助を行なっています。
何があっても、たとえ何もなくても、です。

ですので、予め医師の指示を確認できたり、すぐに医師と連絡が取れる環境は必要になります。
麻酔に携わるようになったとは言え、現在の法律では看護師という枠組みの中での活動ですので、給料が少ないとその人が感じたとしても、そもそもの大枠が変わっていないので病院の意向が無い限りは大きく変わることも無いと思います。

これが、例えば手術件数を増やしたいけど、人件費を抑えたいと考える企業や個人が経営する病院や小さな病院であれば、診療看護師(NP)や特定行為研修修了者(いわゆる特定看護師)の給料は増えるかもしれませんね。
お金だけで考えると、麻酔科医を増やすより、診療看護師(NP)や特定行為研修修了者(いわゆる特定看護師)を増やす方が、病院から見れば人件費を抑えつつ手術件数を増やす事ができ収益向上に繋がる可能性、もしくは手術件数は変わらなくても人件費が抑えられるため費用抑制に繋がる可能性があるためです。

ちなみに正確に記載するのであれば麻酔管理料Ⅱであり、算定要件は「麻酔中の患者の看護に係る適切な研修を修了した常勤看護師」ですので、診療看護師(NP)だけでなく特定行為研修修了者(いわゆる特定看護師)でも算定可能です。
この部分だけを見ても、病院として診療報酬を算定する際に必要になる人材は「麻酔中の患者の看護に係る適切な研修を修了した常勤看護師」であり、診療看護師(NP)である必要性は無いので、やはり病院の意向が無い限り給料が大きく変わることは無いのでしょうね。