Diophantine equation 21

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$${Published}$$  $${Online}$$  $${First}$$  $${(10/2/2024)}$$
$${Latest}$$  $${additions}$$  $${(10/2/2024)}$$
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$${Diophantine}$$ $${equation}$$ $${21}$$
$${(21.1)}$$  $${~~~\sum\limits_{i=1}^4\ a_i^3}$$ $${=}$$ $${x^3+y^3}$$
$${(21.2)}$$  $${~~~\sum\limits_{i=1}^4\ a_i^3}$$ $${=}$$ $${2(x^6-y^6)}$$
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$${case(21.1)}$$  $${~~~\sum\limits_{i=1}^4\ a_i^3}$$ $${=}$$ $${x^3+y^3}$$

$${a_1=x-m~,~a_2=y-m~~\\a_3=n+m~,~a_4=-n+m}$$
とおき、代入する。
$${~~~\sum\limits_{i=1}^4\ a_i^3}$$ $${-}$$ $${(x^3+y^3)=0}$$
$${3m((x+y)m+2n^2-x^2-y^2)=0}$$
$${m}$$について解くと、
$${m=\dfrac{x^2+y^2-2n^2}{x+y}}$$
ここで、$${n=(x+y)t+y}$$とおいて代入すると、
$${m=-2(x+y)t^2-4yt+x-y}$$となる。
$${a_1,a_2,a_3,a_4}$$に代入すると解になる。
$${a_1= 2(x+y)t^2+4yt+y ~\\a_2= 2(x+y)t^2+4yt-x+2y ~~\\a_3= -2(x+y)t^2+(x-3y)t+x ~\\a_4= -2(x+y)t^2-(x+5y)t+x-2y}$$

$${(x,y,t)=(2,1,1)}$$
$${(a_1,a_2,a_3,a_4)=(11,10,-5,-13)}$$
$${11^3+10^3+(-5)^3+(-13)^3=2^3+1^3}$$
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$${case(21.2)}$$  $${~~~\sum\limits_{i=1}^4\ a_i^3}$$ $${=}$$ $${2(x^6-y^6)}$$

$${a_1=xt+u~,~a_2=-xt+u~~\\a_3=yt+v~,~a_4=-yt+v}$$
とおき、代入すると、$${t^3}$$と$${t^0}$$の項は$${0}$$になる。
$${~~~\sum\limits_{i=1}^4\ a_i^3}$$ $${=}$$ $${6(x^2u+y^2v)t^2+(u^3+v^3)}$$
$${u=-y^2~~,~~v=x^2}$$とすると$${t^2}$$の項が$${0}$$になる
$${~~~\sum\limits_{i=1}^4\ a_i^3}$$ $${=}$$ $${2(x^6-y^6)}$$
の解は次の様になる。
$${a_1= xt-y^2~~,~~a_2= -xt-y^2\\a_3= yt+x^2~~,~~ a_4= -yt-x^2}$$
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$${REFERENCES}$$
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$${Ajai~Choudhry}$$
$${「Expressing~an~integer~as~a~\\sum~of~cubes~of~polynomials」}$$
$${arXiv:2311.07325~v1~[math.NT]~\\on~13~Nov ~2023}$$
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