【複素解析】自然数を全部かけたら√2π？？

こんな公式がある。

$$
1\times 2\times 3\times \cdots = \sqrt{2\pi}
$$

は？

$$
\prod_{n=1}^{\infty} \frac{c}{n}=\sqrt{\frac{1}{2\pi c}}
$$

えぇ……

これらは$${\zeta}$$関数正規化を行うことで正当化される。もちろん、通常の意味では当然発散するし、意味のない式である。しかし複素関数として考えたときに上手い操作を行うことで"いい感じ"の式に書き換えられるので、そのまま無意味であると捨て去らず"意味"を与えたものである。

1個目の公式はLerchの公式

$$
\displaystyle \exp{\left(-\frac{\partial}{\partial s}\zeta(s,x)\Big|_{s=0}\right)}=\frac{\Gamma(x)}{\sqrt{2\pi}}
$$

を用いることで得られる。Lerchの公式の証明については例えば黒川重信, ``現代三角関数論,''などを参照。$${\zeta(s,x)}$$はHurwitzゼータ関数

$$
 \displaystyle  \zeta(s,x):=\sum_{n=0}^{\infty}(n+x)^{-s}
$$

であり、$${\Gamma(x)}$$はガンマ関数である。一般化ゼータ関数

$$
\displaystyle  \zeta_{\Lambda}(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\lambda_{n}^{-s}
$$

に対して正規化積が

$$
\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}\lambda_{n}=\exp\left( -\zeta_{\Lambda}'(0)\right)
$$

と書けることを使えば、$${\zeta_{\Lambda}}$$は$${\lambda_{n}=n}$$と取ってやると$${x=1}$$のHurwitzゼータ関数そのものなので

$$
\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty} n=\exp\left( -\frac{\partial}{\partial s}\zeta(s,1)\Big| \right)=\frac{\sqrt{2\pi}}{\Gamma(1)}=\sqrt{2\pi}
$$

である。これではじめの式が示された。もう1つの定数$${c}$$がかけられたものを考える。

$$
\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}\frac{c}{n}
$$

を正規化積で出すためには$${\zeta}$$関数を

$$
\displaystyle \zeta_{c}(s):=\sum_{n=1}^{\infty}\left( \frac{c}{n} \right)^{s}=c^{s} \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{s}}=c^{s}\zeta(s,1)
$$

と設定する。最後の等号ではHurwitzゼータ関数を用いて表した。
正規化積が

$$
  \displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}\frac{c}{n}=\exp(-\zeta_{c}'(0))=\exp\left( -\frac{\partial }{\partial s}(c^{s}\zeta(s,1))\Bigg|_{s=0}\right)
$$

と書ける。これでLerchの公式を使えそうだ。

$$
\displaystyle \frac{\partial }{\partial s}(c^{s}\zeta(s,1))\Bigg|_{s=0}=c^{s}\log c \zeta(s,1)\Bigg|_{s=0} +c^{s}\frac{\partial }{\partial s}(\zeta(s,1))\Bigg|_{s=0}
$$

よってLerchの公式を用いて

$$
\displaystyle \frac{\partial }{\partial s}(c^{s}\zeta(s,1))\Bigg|_{s=0}=-\frac{1}{2}\log{c} +\log \frac{1}{\sqrt{2\pi}}=\log{\sqrt{\frac{1}{2\pi c}}}
$$

以上をまとめると

$$
\displaystyle \prod_{n=1}^{\infty}\frac{c}{n}=\sqrt{\frac{1}{2\pi c}}
$$

を得る。これではじめに出した2式はどちらも得られた。