【複素解析】純虚数を引数に持つガンマ関数の2乗

有名なはずなのに意外とネット上では見なかったので(全然ありそう)。実数$${x}$$に対して

$$
|\Gamma (ix)|^{2}=\frac{\pi}{x \sinh{ \pi x}}
$$

のように双曲線関数が出るというもの。

使うもの

相反公式

$$
\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi }{\sin{\pi z}},\quad z\in \mathbb{C}
$$

三角関数と双曲線関数の関係

$$
 \sin{iz}=i\sinh{z}
$$

導出

相反公式から出発する。ガンマ関数の性質より

$$
\Gamma(1-z)=z\Gamma(-z)
$$

であることを用いる。ここで、$${z=ix,\, x\in \mathbb{R}}$$とおく。

$$
\begin{align*}
\Gamma(z)\Gamma(1-z)&=-z\Gamma(z)\Gamma(-z)\\
&=-ix\Gamma(ix)\Gamma(-ix)
\end{align*}
$$

ここでガンマ関数の定義

$$
\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} t^{z-1}e^{-t}dt
$$

より$${\Gamma(z)^{*}=\Gamma(z^{*}) }$$であるから

$$
\begin{align*}
-ix\Gamma(ix)\Gamma(-ix)&=-ix\Gamma(ix)\Gamma(ix)^{*}\\
&=-ix|\Gamma(ix)|^{2}\\
&=-\frac{\pi }{\sin{\pi ix}} \quad(\because\, \text{相反公式})
\end{align*}
$$

よって

$$
|\Gamma(ix)|^{2}=-\frac{\pi }{ix\sin{i\pi x}}
$$

三角関数と双曲線関数の関係により

$$
|\Gamma(ix)|^{2}=-\frac{\pi }{ix\times i\sinh{\pi x}}=\frac{\pi }{x\sinh{\pi x}}
$$

よって示される。