球の体積と表面積の積み上げ方

 中学校数学では球の体積と表面積の公式を学ぶ。困ることに、現行の教科書ではこれらは天下り的に与えれ、実験的手法で説明されても、理論的に導かれることはない。その結果、公式の丸暗記、下手すると語呂合わせによる暗記を助長する有様である。

　　$${V=\displaystyle\frac{4}{3}\pi r^3}$$
　　$${S=4\pi r^2}$$

球の体積や表面積が既存の知識と繋がらないの