0.999 · · · = 1の証明

証明の概要

0.999... を数学的に表現すると、無限に続く 9 の列として理解できます。これは、無限等比級数の一つとして表現できます。
無限等比級数の公式は次の通りです：

ここで、�a は初項、�r は公比です。0.999... の場合、初項 �a は 0.9、公比 �r は 0.1 です。

数学的証明

1. 0.999... を等比級数として表すと、 0.999...=0.9+0.09+0.009+⋯0.999...=0.9+0.09+0.009+⋯

2. 無限等比級数の公式に従い、

3.この公式に数値を代入すると、

したがって、0.999... は 1 に等しいことが証明されます。

図解

この概念を図解するために、数直線上で 0.999... と 1 の位置を示します。無限に続く 9 の列がどのように 1 に近づいていくかを視覚化します。
この図では、0.9、0.99、0.999、... など、0.999... の各項が数直線上でどのように 1 に近づいていくかを示します。各ステップで、数列は 1 に限りなく近づきますが、決して超えることはありません。これは、0.999... が実際に 1 に等しいことを視覚的に示しています。