数学科入学前に知っておきたい「行列」の基本③【対角行列】

こんにちは、くれあです。
行列編第３弾です。第２弾で終わりにしようと思っていましたが、長くなりそうでしたので分割しました(^^;;

今回は中学の頃に習ったであろう連立方程式と行列の関係性も紹介します。
行列を使った連立方程式の解き方も面白いので是非参考にしてみてください！

対角行列

$${A=\begin{pmatrix}2 & 0 \\0 & 3 \\ \end{pmatrix}}$$のように$${A=\begin{pmatrix}\alpha & 0 \\0 & \beta \\ \end{pmatrix}}$$の形の正方行列を対角行列といいます.
つまり対角上にある対角成分（$${(i,i)}$$成分）以外の成分がすべて0のような行列が対角行列です.

行列の対角化

ある正方行列$${A}$$にある正方行列$${P}$$が存在して$${P^{-1}AP}$$を計算すると対角行列になることがあります.

このような対角行列の$${n}$$乗は次のようなシンプルな結果になります.

$$
\begin{pmatrix}\alpha & 0 \\0 & \beta \\ \end{pmatrix}^n=\begin{pmatrix}\alpha^n & 0 \\0 & \beta^n \\ \end{pmatrix}
$$

また対角行列を作ることを対角化と呼び，対角化させる行列が存在するとき対角化可能といいます.
$${P}$$の作り方が実はあるのですが，割愛して今度$${n}$$次の正方行列を扱うときに紹介できればと思います.
例を見てみましょう！

例）
$${A=\begin{pmatrix}-1 & 2 \\-6 & 6 \\ \end{pmatrix}, P=\begin{pmatrix}1 & 2 \\2 & 3 \\ \end{pmatrix}}$$とします.
まず$${P}$$の逆行列を求めてみます.
行列$${P}$$に関して$${\Delta=1\cdot3-2\cdot2=-1\neq0}$$
よって行列$${P}$$は逆行列行列$${P^{-1}}$$をもち
$${\displaystyle P^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}3 & -2 \\-2 & 1 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3 & 2 \\2 & -1 \\ \end{pmatrix}}$$
よって
$${P^{-1}AP=\begin{pmatrix}-3 & 2 \\2 & -1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 2 \\-6 & 6 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & 2 \\2 & 3 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3 & 0 \\0 & 2 \\ \end{pmatrix}}$$

ここで$${\displaystyle B=\begin{pmatrix}3 & 0 \\0 & 2 \\ \end{pmatrix}}$$とすると$${A^n}$$を計算するのにとても楽になります.
このとき，$${B=P^{-1}AP}$$より$${A=PBP^{-1}}$$.
よって
$${A^2=(PBP^{-1})(PBP^{-1})=PB^2P^{-1}}$$
$${A^3=(PBP^{-1})(PBP^{-1})(PBP^{-1})=PB^3P^{-1}}$$
$${A^n=(PBP^{-1})(PBP^{-1})\cdots(PBP^{-1})=PB^nP^{-1}}$$となり
$${A^n=PB^nP^{-1}}$$が成り立ちます.

これの性質と$${B^n}$$が対角行列であることで先ほどの$${A^n}$$も計算が楽になります.

試しに，$${A^3}$$を求めてみます.

$$
\begin{align*}
A^3 &= PB^3P^{-1} \\
&= \begin{pmatrix}1 & 2 \\2 & 3 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 0 \\0 & 2 \\ \end{pmatrix}^3 \begin{pmatrix}-3 & 2 \\2 & -1 \\ \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}1 & 2 \\2 & 3 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3^3 & 0 \\0 & 2^3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3 & 2 \\2 & -1 \\ \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}1 & 2 \\2 & 3 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}27 & 0 \\0 & 8 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3 & 2 \\2 & -1 \\ \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}27 & 16 \\54 & 24 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3 & 2 \\2 & -1 \\ \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}27\cdot(-3)+16\cdot2 & 27\cdot2+16\cdot(-1) \\54\cdot(-3)+24\cdot2 & 54\cdot2+24\cdot(-1) \\ \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}-49 & 38 \\-114 & 84 \\ \end{pmatrix} 
\end{align*}
$$

直接$${A^3}$$を計算してみると同じ行列になります.

$$
\begin{align*}
A^3 &= \begin{pmatrix}-1 & 2 \\-6 & 6 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 2 \\-6 & 6 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 2 \\-6 & 6 \\ \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}-11 & 10 \\-30 & 24 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1 & 2 \\-6 & 6 \\ \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}-49 & 38 \\-114 & 84 \\ \end{pmatrix}
\end{align*}
$$

3乗の場合はどちらの方法でも同じくらい計算が面倒に思いますが、
$${n}$$乗ですと対角行列を用いた計算の方が楽でしょう。
（というよりストレートで$${A}$$の$${n}$$乗を計算するのはなかなか難しい…）

$$
\begin{align*}
A^n &= PB^nP^{-1} \\
&= \begin{pmatrix}1 & 2 \\2 & 3 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3 & 0 \\0 & 2 \\ \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix}-3 & 2 \\2 & -1 \\ \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}1 & 2 \\2 & 3 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}3^n & 0 \\0 & 2^n \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3 & 2 \\2 & -1 \\ \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}3^n & 2^{n+1} \\2\cdot3^n & 3\cdot2^n \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix}-3 & 2 \\2 & -1 \\ \end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}-3^{n+1}+2^{n+2} & 2\cdot3^n-2^{n+1} \\-2\cdot3^{n+1}+3\cdot2^{n+1} & 4\cdot3^n-3\cdot2^n \\ \end{pmatrix}
\end{align*}
$$