数学科入学前に知っておきたい「行列」の基本②【ケーリー・ハミルトンの定理と逆行列】

こんにちは、くれあです。
行列編第２弾です。前に書いた行列の基本の続編になります。

少し応用的なように感じるかもしれませんが、大学数学から見たら基本になるかと思いますので
ぜひ参考にしてみてくださいね。

ケーリー・ハミルトンの定理

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定理：ケーリー・ハミルトンの定理
任意の2次の正方行列$${A=\begin{pmatrix}a & b \\c & d \\ \end{pmatrix}}$$に対して，次の等式が成り立つ

$$
A^2-(a+d)A+(ad-bc)E=O
$$

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（証明）

$$
\begin{align*}
& A^2-(a+d)A+(ad-bc)E \\
& =\begin{pmatrix}a & b \\c & d \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}a & b \\c & d \\ \end{pmatrix}-(a+d)\begin{pmatrix}a & b \\c & d \\ \end{pmatrix}+(ad-bc)\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\ \end{pmatrix} \\
& =\begin{pmatrix}a^2+bc & ab+bd \\ac+cd & bc+d^2 \\ \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}a^2+ad & ab+bd \\ac+cd & ad+d^2 \\ \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}ad-bc & 0 \\0 & ad-bc \\ \end{pmatrix} \\
& =\begin{pmatrix}0 & 0 \\0 & 0 \\ \end{pmatrix}=O
\end{align*}
$$

このケーリー・ハミルトンの定理を使うと行列の計算が少し楽にできます.
（使えない時はゴリゴリ成分で計算しますが…^^;;）

高次の整式の値を求める以下のような問題があったかと思います.

問）$${x=2-\sqrt3}$$のとき,$${x^3}$$を求めよ.
解答）
$${x=2-\sqrt3}$$より$${x-2=-\sqrt3}$$.
両辺を2乗して
$${(x-2)^2=(-\sqrt3)^2}$$
$${\Leftrightarrow x^2-4x+4=3}$$
$${\Leftrightarrow x^2-4x+1=0}$$
となるので$${x^2=4x-1}$$となります.
これを$${x^2=x^2\cdot x}$$に代入して次数下げをすることができます.

$$
\begin{align*}
x^3 & =x^2\cdot x \\
& =(4x-1)x \\
& = 4x^2-x \\
& = 4(4x-1)-x \\
& = 15x-4 \\
& = 15(2-\sqrt3 )-4
& = 26-15\sqrt3
\end{align*}
$$

行列の計算でもケーリー・ハミルトンの定理を用いて次数下げをして計算することができます.

問）
$${A=\begin{pmatrix}5 & 3 \\-6 & -4 \\ \end{pmatrix}}$$について，$${A^3}$$を求めよ.
解答）
ケーリー・ハミルトンの定理より，行列$${A}$$に対して次の等式が成り立つ.
$${A^2-\lbrace 5+(-4)\rbrace A+\lbrace 5\cdot(-4)-4\cdot(-6)\rbrace E=O}$$
すなわち
$${A^2-A-2E=O}$$
したがって$${A^2=A+2E}$$
よって

$$
\begin{align*}
A^3 & =A^2\cdot A=(A+2E)A==A^2+2A \\
& =(A+2E)+2A=3A+2E \\
& =3\begin{pmatrix}5 & 3 \\-6 & -4 \\ \end{pmatrix}+2\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}17 & 9 \\-18 & -10 \\ \end{pmatrix}
\end{align*}
$$

逆行列

逆数

0でない数$${a}$$に対して

$$
ab=ba=1
$$

を満たす数$${b}$$が$${a}$$の逆数になります.
例えば2の逆数は$${\displaystyle \frac{1}{2}}$$になります.

逆行列

正方行列$${A}$$に対して，$${E}$$を$${A}$$と同じ型の単位行列とするとき，

$$
AX=XA=E
$$

を満たす正方行列$${X}$$が存在するならば，$${X}$$を$${A}$$の逆行列といい$${A^{-1}}$$で表します.すなわち$${AA^{-1}=A^{-1}A=E}$$となります.
また正方行列$${A}$$が逆行列$${A^{-1}}$$を持つとき，逆行列の定義より$${A^{-1}}$$の逆行列は$${A}$$になります.すなわち$${(A^{-1})^{-1}=A}$$となります.

例）$${\displaystyle A=\begin{pmatrix}7 & 3 \\2 & 1 \\ \end{pmatrix}}$$に対して，$${\displaystyle X=\begin{pmatrix}1 & -3 \\-2 & 7 \\ \end{pmatrix}}$$とすると

$$
AX=\begin{pmatrix}7 & 3 \\2 & 1 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}1 & -3 \\-2 & 7 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\ \end{pmatrix}\\
XA=\begin{pmatrix}1 & -3 \\-2 & 7 \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix}7 & 3 \\2 & 1 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0 \\0 & 1 \\ \end{pmatrix}
$$

数の実数を求めることは簡単ですね.
では逆行列はどうでしょうか？少々面倒ですが、逆行列も求めることができます.
ここでは2次の正方行列の逆行列の求め方を紹介します.

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2次の正方行列の逆行列
行列$${\displaystyle A=\begin{pmatrix}a & b \\c & d \\ \end{pmatrix}}$$について，$${\Delta=ad-bc}$$とおく.
$${\Delta \neq 0}$$のとき，$${A}$$の逆行列$${A^{-1}}$$が存在して$${\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{\Delta}\begin{pmatrix}d & -b \\-c & a \\ \end{pmatrix}}$$
$${\Delta=0}$$のとき，$${A}$$の逆行列は存在しない.
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先ほどの例の$${\displaystyle A=\begin{pmatrix}7 & 3 \\2 & 1 \\ \end{pmatrix}}$$に対して逆行列を計算してみましょう.
$${\Delta=7\cdot 1-3\cdot 2=1}$$となるので，

$$
A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}1 & -3 \\-2 & 7 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -3 \\-2 & 7 \\ \end{pmatrix}
$$

となります.この場合は$${\Delta=1}$$となったので$${a}$$と$${d}$$を入れ替えして、$${b}$$と$${c}$$の正負を逆にするだけで済みましたね.

他にも色々な2次正方行列で逆行列を求めてみてください(^^)

問）次の行列が逆行列をもてば，それを求めよ.

$$
(1).   A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \\ \end{pmatrix}　　　　(2).  B=\begin{pmatrix}-2 & 5 \\4 & -10 \\ \end{pmatrix}
$$

解答）

(1)
$${A=\begin{pmatrix}1 & 2 \\3 & 4 \\ \end{pmatrix}}$$に対して，
$${\Delta=1\cdot4-2\cdot3=-2\neq0}$$なので，$${A}$$は逆行列をもち
$${\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{-2}\begin{pmatrix}4 & -2 \\-3 & 1 \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2 & 1 \\ \displaystyle\frac{3}{2} & \displaystyle-\frac{1}{2} \\ \end{pmatrix}}$$

(2)
$${B=\begin{pmatrix}-2 & 5 \\4 & -10 \\ \end{pmatrix}}$$に対して，
$${\Delta=(-2)\cdot(-10)-5\cdot4=20-20=0}$$なので，$${B}$$は逆行列をもたない.

逆行列の性質

逆行列にはいくつか性質があります.

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逆行列の性質

$$
\begin{array}{ll}
(1) 同じ次数の正方行列A,Bがともに逆行列をもつとき,\\　積ABも逆行列をもち,(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}が成り立つ. \\
(2) 正方行列Aが逆行列をもつとき,AB=ACならばB=Cである.\\
(3) A,Bが同じ次数の正方行列で,Aが逆行列をもつとき,\\　AB=AならばB=Eである.
\end{array}
$$

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（証明）

(1) 乗法の結合法則より
$${(AB)(B^{-1}A^{-1})=A(BB^{-1})A^{-1}=AEA^{-1}=AA^{-1}=E}$$
$${(B^{-1}A^{-1})(AB)=B^{-1}(A^{-1}A)B=B^{-1}EB=B^{-1}B=E}$$
よって，$${B^{-1}A^{-1}}$$は$${AB}$$の逆行列である.
すなわち，(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}

(2)
$${AB=AC}$$の両辺に，左から$${A^{-1}}$$を掛けると
$${A^{-1}(AB)=A^{-1}(AC)}$$
すなわち$${(A^{-1}A)B=(A^{-1}A)C}$$
$${A^{-1}A=E}$$なので$${EB=EC}$$
ゆえに$${B=C.}$$