構造力学メモ（その６）　最大せん断応力

　前回は、八面せん断応力とミーゼス応力に深い関係があることについて紹介した。八面せん断応力と合わせて、もう一つ重要なせん断応力である最大せん断応力についても確認していきたいと思う。

１．任意の面のせん断応力ベクトルを主応力で表す。

　前回と同じく、主応力の方向を$${x,y,z}$$軸とした座標軸を考える。

　主方向を$${x,y,z}$$軸とするとき法線ベクトル$${\bm n=(n_1,n_2,n_3)}$$に垂直な面の応力ベクトルは、以下のように応力テンソルと法線ベクトルの積で表される。

$$
\bm t_n=
\begin{bmatrix}
\sigma_1 & 0 & 0 \\
0 & \sigma_2 & 0 \\
0 & 0 & \sigma_3
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
n_1 \\
n_2 \\
n_3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\sigma_1 n_1 \\
\sigma_2 n_2 \\
\sigma_3 n_3
\end{bmatrix}
$$

$$
(\bm t_n\cdot \bm n)=\sigma_1 n_1^2+\sigma_2 n_2^2+\sigma_3 n_3^2
$$

　面に作用する垂直応力ベクトルは以下のようになる。

$$
\bm\sigma_n=(\bm t_n\cdot \bm n)\bm n=(\sigma_1 n_1^2+\sigma_2 n_2^2+\sigma_3 n_3^2)\bm n=\sigma_n\bm n
$$

　そして、その面に平行なせん断応力ベクトルは、面に作用している応力ベクトルから垂直応力ベクトルを引けば、以下のように求められる。

$$
\bm \tau_n=\bm t_n-(\bm t_n\cdot\bm n)\bm n=\bm t_n-\sigma_n\bm n
$$

　せん断応力ベクトルの大きさを求める。大きさを求めるためには、$${ \tau_n^2}$$を求める。

$$
\tau_n^2=(\bm \tau_n\cdot \bm \tau_n)=(\bm t_n-\sigma_n\bm n)\cdot(\bm t_n-\sigma_n\bm n)
$$

$$
\tau_n^2=(\bm t_n\cdot \bm t_n)-2\sigma_n(\bm t_n\cdot\bm n)+\sigma_n^2=t_n^2-2\sigma_n^2+\sigma_n^2
$$

$$
\tau_n^2=t_n^2-\sigma_n^2
$$

２．がんばってせん断応力ベクトルを計算する

　$${t_n^2}$$は、各成分を二乗するだけでいいが、$${\sigma_n^2}$$の計算は、結構大変そうである。実際、$${\sigma_n^2}$$を計算すると、以下のようになる。

$$
\begin{align*}
\sigma_n^2=&\sigma_1^2n_1^4+\sigma_2^2n_2^4+\sigma_3^2n_3^4\\
&+2\sigma_1\sigma_2n_1^2n_2^2+2\sigma_2\sigma_3n_2^2n_3^2+2\sigma_3\sigma_1n_3^2n_1^2
\end{align*}
$$

　$${n_1^2+n_2^2+n_3^2=1}$$なので、それを以下に代入する。ただし、$${n_1^4,n_2^4,n_3^4}$$に代入すると計算が迷子になってしまうので、以下のように$${n_1^2,n_2^2,n_3^2}$$に代入する。そして頑張って計算していく。

$$
\begin{align*}
\sigma_n^2
=&\sigma_1^2n_1^2(1-n_2^2-n_3^2)+\sigma_2^2n_2^2(1-n_1^2-n_3^2)+\sigma_3^2n_3^2(1-n_1^2-n_2^2)\\
&+2\sigma_1\sigma_2n_1^2n_2^2+2\sigma_2\sigma_3n_2^2n_3^2+2\sigma_3\sigma_1n_3^2n_1^2
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\sigma_n^2=&\sigma_1^2n_1^2+\sigma_2^2n_2^2+\sigma_3^2n_3^2\\
&-\sigma_1^2n_1^2(n_2^2+n_3^2)-\sigma_2^2n_2^2(n_1^2+n_3^2)-\sigma_3^2n_3^2(n_1^2+n_2^2)\\
&+2\sigma_1\sigma_2n_1^2n_2^2+2\sigma_2\sigma_3n_2^2n_3^2+2\sigma_3\sigma_1n_3^2n_1^2
\end{align*}
$$

$$
\begin{align*}
\sigma_n^2=t_n^2
&-(\sigma_1^2-2\sigma_1\sigma_2+\sigma_2^2)n_1^2n_2^2\\
&-(\sigma_2^2-2\sigma_2\sigma_3+\sigma_3^2)n_2^2n_3^2\\
&-(\sigma_3^2-2\sigma_3\sigma_1+\sigma_1^2)n_3^2n_1^2
\end{align*}
$$

$$
\sigma_n^2=t_n^2-(\sigma_1-\sigma_2)^2n_1^2n_2^2-(\sigma_2-\sigma_3)^2n_2^2n_3^2-(\sigma_3-\sigma_1)^2n_3^2n_1^2
$$

　最終的には、以下のように多少簡単な形になる。

$$
\tau_n^2=t_n^2-\sigma_n^2=(\sigma_1-\sigma_2)^2n_1^2n_2^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2n_2^2n_3^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2n_3^2n_1^2
$$

　これは、$${\bm n=(\pm \frac{1}{\sqrt{3}},\pm \frac{1}{\sqrt{3}},\pm \frac{1}{\sqrt{3}})}$$とすれば、前回紹介した八面せん断応力となる。

３．せん断応力ベクトルの極大値を求める

　このせん断応力ベクトルの極大値を求めてみよう。$${n_1^2+n_2^2+n_3^2=1}$$という拘束条件があるので、ラグランジュの未定係数法で極大値を求めることができる。以下のような関数$${F}$$を考えて、微分（偏微分）をして、それが0になるところが極大値になるはずである。

$$
F=\tau_n^2-\lambda(n_1^2+n_2^2+n_3^2-1)
$$

$$
\begin{align*}
\dfrac{\partial F}{\partial n_1}=& 2n_1\{(\sigma_1-\sigma_2)^2n_2^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2n_3^2-\lambda\}=0\\
\dfrac{\partial F}{\partial n_2}=& 2n_2\{(\sigma_1-\sigma_2)^2n_1^2+(\sigma_2-\sigma_3)^2n_3^2-\lambda\}=0\\
\dfrac{\partial F}{\partial n_3}=& 2n_3\{(\sigma_2-\sigma_3)^2n_2^2+(\sigma_3-\sigma_1)^2n_1^2-\lambda\}=0
\end{align*}
$$

$${n_1=0,n_2\ne0,n_3\ne0}$$のとき、以下のようになる。

$$
\begin{align*}
& (\sigma_2-\sigma_3)^2n_3^2-\lambda=0\\
& (\sigma_2-\sigma_3)^2n_2^2-\lambda=0
\end{align*}
$$

　$${\sigma_2\ne\sigma_3}$$のとき、これを解くと、$${n_2^2=n_3^2}$$となり、$${n_1^2+n_2^2+n_3^2=1}$$から、$${\tau_n}$$が極大値となる法線ベクトルは以下のようになる。

$$
\bm n=(n_1,n_2,n_3)=\left(0,\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
$$

$${\tau_n}$$の極大値は以下の通りとなる。

$$
\tau_n^2=\dfrac{(\sigma_2-\sigma_3)^2}{4}\\ \tau_n=\dfrac{\vert\sigma_2-\sigma_3\vert}{2}
$$

$${n_1\ne0,n_2=0,n_3\ne0}$$のとき、$${n_1\ne0,n_2\ne0,n_3=0}$$のときも同様に極大値を求められる。

$$
\bm n=(n_1,n_2,n_3)=\left(\pm\frac{1}{\sqrt{2}},0,\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\right)
$$

$$
\tau_n^2=\dfrac{(\sigma_3-\sigma_1)^2}{4}\\ \tau_n=\dfrac{\vert\sigma_3-\sigma_1\vert}{2}
$$

$$
\bm n=(n_1,n_2,n_3)=\left(\pm\frac{1}{\sqrt{2}},\pm\frac{1}{\sqrt{2}},0\right)
$$

$$
\tau_n^2=\dfrac{(\sigma_1-\sigma_2)^2}{4}\\ \tau_n=\dfrac{\vert\sigma_1-\sigma_2\vert}{2}
$$

　極大になるか極小になるかも判定する必要があるが、$${\tau_n^2}$$は、$${n_1=n_2=0,n_3=1}$$などを代入すると$${\tau_n^2=0}$$となり、それらが極小値になることが分かる。

４．せん断応力ベクトルを八面せん断応力で表す

　以上のせん断応力ベクトルの大きさの最大値と極大値について、以前求めた主応力の値を代入してみて、どのようになるかを見てみよう。
　八面せん断応力の大きさとの比較をしやすいように以下の、八面せん断応力による主応力を代入してみる。

$$
\sigma_1=\sqrt{2}\tau_{oct}\cos\theta_1\\ \sigma_2=\sqrt{2}\tau_{oct}\cos\theta_2\\\sigma_3=\sqrt{2}\tau_{oct}\cos\theta_3\\
$$

　各せん断応力ベクトルの大きさの極大値に上記に代入すると以下のようになる。

$$
\tau_{12}=\dfrac{\vert \sigma_1-\sigma_2\vert}{2}=\dfrac{\sqrt{2}\tau_{oct}}{2}\vert\cos\theta_1-\cos\theta_2\vert\\
\tau_{23}=\dfrac{\vert \sigma_2-\sigma_3\vert}{2}=\dfrac{\sqrt{2}\tau_{oct}}{2}\vert\cos\theta_2-\cos\theta_3\vert\\
\tau_{31}=\dfrac{\vert \sigma_3-\sigma_1\vert}{2}=\dfrac{\sqrt{2}\tau_{oct}}{2}\vert\cos\theta_3-\cos\theta_1\vert
$$

　三角関数の和積の公式を使うと以下のようになる。

$$
\tau_{12}=\sqrt{2}\tau_{oct}\vert\sin\dfrac{\theta_1+\theta_2}{2}\sin\dfrac{\theta_1-\theta_2}{2}\vert\\
\tau_{23}=\sqrt{2}\tau_{oct}\vert\sin\dfrac{\theta_2+\theta_3}{2}\sin\dfrac{\theta_2-\theta_3}{2}\vert\\
\tau_{31}=\sqrt{2}\tau_{oct}\vert\sin\dfrac{\theta_3+\theta_1}{2}\sin\dfrac{\theta_3-\theta_1}{2}\vert
$$

　$${\theta_1,\theta_2,\theta_3}$$の値は、$${\cos\theta_1}$$が最大、$${\cos\theta_2}$$が中間、$${\cos\theta_3}$$が最小にする場合は、以下のようになる。

$$
\theta_1=\theta    (0\le\theta\le60\degree)\\ \theta_2=\theta+240\degree\\ \theta_3=\theta+120\degree
$$

　上記を代入すれば以下のようになる。

$$
\tau_{12}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\tau_{oct}\vert\sin(\theta+120\degree)\vert\\
\tau_{23}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\tau_{oct}\vert\sin\theta\vert\\
\tau_{31}=\sqrt{\dfrac{3}{2}}\tau_{oct}\vert\sin(\theta+60\degree)\vert\\
$$

　これは、$${0\degree\le\theta\le60\degree}$$の時、$${\frac{\sqrt{3}}{2}\le\sin(\theta+60\degree)\le1}$$なので、$${\tau_{31}}$$が最大となる。つまり、$${\tau_{31}}$$が最大せん断応力である。
　そして、$${\tau_{31}}$$の最小値は、$${\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{\frac{3}{2}}>1}$$なので、八面せん断応力よりも大きいことが分かる。

５．トレスカの降伏条件

　以前、ミーゼスの降伏条件を説明したが、トレスカの降伏条件というものもある。それは、まさにこの最大せん断応力がある値に達したときに破壊（降伏）するというものである。

　トレスカの降伏条件は、材料内のせん断応力が限界に達したときに材料が破壊（降伏）する条件、と言える。
　トレスカの降伏条件は、同じ応力状態では、最大せん断応力のほうが大きいので、荷重を上げていったときに先にトレスカの降伏条件がNGになるので、より安全側の条件と言える。
　そうなると、最大せん断応力の大きさがNGになってから、八面せん断応力がNGになってはじめて破壊（降伏）と判定されるミーゼスの降伏条件がよく分からなくなってくる。とはいえ、トレスカの降伏条件もミーゼスの降伏条件もそこまで差が大きいわけではない。扱いとしては、意外とミーゼスの降伏条件のほうが$${\theta}$$を求めないでもよく扱いやすいので、よく使われているという面もあるのかもしれない。

　ミーゼスの降伏条件については、せん断ひずみエネルギー説というものがあるので、また別の機会に紹介したいと思う。

６．おわりに

　任意の面のせん断応力の大きさを考えることで、最大せん断応力を計算することができた。また、以前求めた主応力の計算式から、ミーゼス応力と関連の深い八面せん断応力の大きさとの違いも計算することができた。
　最大せん断応力は、トレスカの降伏条件との関連が深く、材料内の最大せん断応力が一番大きいところで破壊（降伏）が発生するというのも分かりやすい話ではある。
　しかし、逆にミーゼスの降伏条件のイメージがつきづらくなってしまうかもしれない。材料内の最大せん断応力が限界を超えても破壊（降伏）せず、それよりも小さい八面せん断応力が限界にならないと破壊（降伏）しないというのは、若干分かりにくい。
　そのあたりは、せん断ひずみエネルギー説の話をした方が分かりやすいかもしれないので、そのうち記事にしたいと思う。

その７