28.27 指数関数と対数関数（まとめ問題）

シリーズ28 は今回が最後です。次回からはシリーズ29 で、高校数学Ⅱの「微分と積分」を扱います。

方程式・不等式および最大最小を除いた問題を扱います。易しくはありませんが考えてみてください。難易度は教科書の章末問題くらいです。

まとめ問題

1⃣　$${a, \: b, \: c}$$は１と異なる正の実数とする。このとき次の等式を示せ。

　　　　　　　　　　$${\log_ab\cdot \log_bc\cdot \log_ca=1}$$

2⃣　０でない実数 $${x, \: y, \: z}$$に対して
　　　　　　　　　　　　$${2^x=5^y=10^z}$$
が成り立つとき
　　　　　　　　　　　　$${\dfrac{1}{\:x\:}+\dfrac{1}{\:y\:}=\dfrac{1}{\:z\:}}$$
を示せ。

3⃣　$${1< a < b < a^2}$$のとき
　　　　　　　　　　$${\log_ab < (\log_ab)^2 < \log_ab^2}$$
を示せ。

4⃣　次の数の大小を比べよ。必要であれば $${\log_{10}2=0.3010, \: \log_{10}3=0.4771}$$を用いてもよいが、用いずに答えることは可能である。
(1) $${2^{100}, \:\: 3^{75}, \:\: 5^{50}}$$

(2) $${\log_23, \:\: \log_35, \:\: \log_48}$$

答え

証明は解答解説にて。
4⃣　(1) $${2^{100} < 5^{50} < 3^{75}}$$
　　(2) $${\log_35 < \log_48 < \log_23}$$