29.15 微分の初歩（基本演習②）

基本的内容が終わったので演習によって理解を深めましょう。
難易度は教科書の節末問題で、基本の理解に丁度良い難易です。

基本演習

６．関数$${f(x)=x^3+ax^2+3x+2}$$が極値をもつような定数$${a}$$の値の範囲を求めよ。

７．$${a>0}$$として、３次方程式$${ax^3-6ax^2+64=0}$$が３個の実数解をもつように、定数$${a}$$の値の範囲を定めよ。

８．$${x\geqq 0}$$において、不等式$${x^3+a>3x^2+9x}$$が成り立つように、定数$${a}$$の値の範囲を定めよ。

９．関数$${y=-x^2+6x \:\: (0\leqq x \leqq 6)}$$のグラフ上の点$${\text{P}(x,y)}$$から$${x}$$軸に垂線$${\text{PH}}$$を下ろす。このとき、$${\text{△POH}}$$の面積を最大にする$${x}$$の値と面積の最大値を求めよ。ただし、点$${\text{O}}$$は座標平面の原点である。

10．底面の直径と高さの和が$${18\text{cm}}$$である直円柱の体積を$${V \text{cm}^3}$$とする。
(1)  底面の半径を$${x\text{cm}}$$とするとき、$${V}$$を$${x}$$の式で表せ。
(2)  $${V}$$が最大となるのは、円柱の高さが何$${\text{cm}}$$のときか。