30.09 積分の初歩（基本演習）

演習

[1]  曲線$${y=f(x)}$$は点$${(1,2)}$$を通り、その曲線上の各点$${(x,y)}$$における接線の傾きが$${2x-4}$$であるような関数$${f(x)}$$を求めよ。

[2]  次の定積分を求めよ。
　　(1) $${\displaystyle \int_0^3|4-2x|dx}$$　　　　(2) $${\displaystyle \int_{-1}^2x|x-1|dx}$$

[3]  実数を定義域とする関数$${f(x)=\displaystyle \int_1^x(t-1)(t+3)dt}$$の極値を求めよ。

[4]  等式$${\displaystyle \int_a^xf(t)dt=x^2-3x-4}$$を満たす関数$${f(x)}$$と実数定数$${a}$$の値を求めよ。

[5]  等式$${f(x)=2x^2+x\displaystyle \int_0^3f(t)dt-5}$$を満たす関数$${f(x)}$$を求めよ。

※ [5]を初見で解くにはかなり難しいのですが、教科書にも例題で扱われるので基本としました。

答え　[1] $${f(x)=x^2-4x+5}$$　　[2] (1) $${5}$$　(2) $${\frac{\:1\:}{6}}$$
[3] 極大値 $${\frac{\:32\:}{3} \:\: (x=-3 \: のとき)}$$,  極小値 $${0 \:\: (x=1 \: のとき)}$$
[4] $${f(x)=2x-3, \:\: a=-1, \: 4}$$　　[5] $${2x^2-\frac{\:6\:}{7}x-5}$$

マガジン６ 数Ⅱ【三角関数、指数関数と対数関数、微分と積分｜理一の数学事始め｜note