31.27 ベクトルの初歩（空間内のベクトル方程式）

ベクトルを用いて図形を表す話の空間版です。前半は、空間内の直線、平面、球面をベクトルで表してみます。後半は、ベクトル方程式から直線、平面、球面の方程式を導きます。
最後には、気づいた人のための補遺があります。

空間におけるベクトル方程式

ベクトルを用いて空間内の Ⅰ 直線　Ⅱ 平面　Ⅲ 球面  を表現してみます。

Ｉ）直線

直線に関しては、前回の平面での話が使えます。
２点Ａ,Ｂを通る直線ABは、直線AB上の動点をＰとすると、３点Ａ,Ｂ,Ｐが同一直線上にあるので、パラメーター(媒介変数)$${t}$$を用いて

$${\overrightarrow{\mathrm{AP}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}} \:\:(t\in \mathbb{R})}$$　･･･①

と書けます。この$${t}$$は実数全体を動きます。

【１】　①を原点Ｏを始点とするベクトルで書き直すと

$${\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(1-t)\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}} \:\:(t\in \mathbb{R}).}$$　･･･②

さらに、$${1-t}$$を$${s}$$と置けば

$${\overrightarrow{\mathrm{OP}}=s\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\overrightarrow{\mathrm{OB}} \:\:(s+t=1; \: s, \: t\in \mathbb{R})}$$　･･･③

と書き直せます。この ②, ③ は直線のベクトル方程式と呼ばれます。

【２】　①の$${\overrightarrow{\mathrm{AB}}}$$は方向ベクトルなので$${\vec{d}}$$ で書き直し、原点Ｏを始点とするベクトルで表すと

$${\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}+t\vec{d} \:\:(t\in \mathbb{R}).}$$　･･･④

この④も直線のベクトル方程式と呼びます。ここまでは前回と同じです。