31.23 ベクトルの初歩（空間の数ベクトルの基本演習）

演習を通して、空間の数ベクトルの理解を深めましょう。

基本演習

1⃣　空間内の４点$${\text{A}(1, 2, 1), \: \text{B}(5, 5, -1), \: \text{C}(x,y,z), \: \text{D}(-4, 2, 3)}$$が平行四辺形ABCDを成すように$${x,y,z}$$の値を定めよ．

2⃣　$${\vec{a}=(1, \: 3, -2), \: \vec{b}=(0,-1, \:2), \: \vec{c}=(2,\:1, \:1)}$$のとき，$${\vec{p}=(7, \: 8, -3)}$$を$${\ell\vec{a}+m\vec{b}+n\vec{c}}$$の形で表せ．ただし，$${\ell, \: m, \: n}$$は実数とする．

3⃣　$${\vec{a}=(2, -1, -5), \: \vec{b}=(3x,\:6, 4y-2), \: \vec{c}=(z-1,\:2, z+1)}$$とする．
　(1)  $${\vec{a}\:/\!/\:\vec{b}}$$となるように$${x, \: y}$$の値を定めよ．

　(2)  $${\vec{a}\:⊥\: \vec{c}}$$となるように$${z}$$の値を定めよ．

4⃣　空間内の３点$${\text{A}(2, 1, 3), \: \text{B}(3, 2, 5), \: \text{C}(6, -1,5)}$$を頂点とする三角形△ABCにおいて，次の各問に答えよ．
　(1)  ２つのベクトル$${\overrightarrow{AB}, \: \overrightarrow{AC}}$$を求めよ．

　(2)  ∠BACの大きさを求めよ．  

　(3)  △ABCの面積を求めよ．

5⃣　２つのベクトル$${\vec{a}=(-1, \: 4, \: 1), \: \vec{b}=(2,-6, -1)}$$の両方に垂直で長さ５のベクトルを求めよ．

6⃣　空間内の３点原点$${\text{O}, \: \text{A}(1, 2, 1), \: \text{B}(-1, 0,1)}$$から等距離にある$${yz}$$平面上の点Ｐの座標を求めよ．

答え