28.04 指数関数と対数関数（指数法則　整数指数への拡張）

これまでの「指数法則」の指数は正の整数でしたが、これを整数全体に拡げます。

指数法則

正の整数$${m, \: n}$$、実数$${a, \: b}$$に対して次が成り立つ。

　　(1)  $${a^ma^n=a^{m+n}}$$,　　(2)  $${(a^m)^n=a^{mn}}$$,　　(3)  $${(ab)^n=a^nb^n}$$.  ▮

形式的には上の "正の整数" を単に "整数" とするだけなのですが、これでは説明不足です。整数にするということは、０やマイナスの指数も考えることになるのだから、$${2^0}$$ や $${2^{-1}}$$ の意味も知りたいし、こうしても指数法則が使えることを確認する必要があります。

約束

　　　正の整数$${n}$$,  実数$${a\neq 0}$$に対して次のように定義します。

　　　　　　　　　　　$${a^0:=1, \quad a^{-n}:=\dfrac{1}{\:a^n\:}}$$.  ▮

なぜこのように定義したのか。