31.05 ベクトルの初歩（基本演習２ 空間ベクトル）

前回の平面ベクトルの続きで、今回は空間ベクトルの基本演習です。
ベクトルの考えは、平面でも空間でも利用できるという点が優れています。大学以降の数学ではこの点に着目し、より一般化した世界を考えます。その世界は線形空間またはベクトル空間と呼ばれているものです。

質問　幾何ベクトルの定義を述べてください。

答えられるようになりましたか。答えられなくても気にしないでください。何度か確認しなおしている中うちに覚えられます。

基本演習（空間ベクトル）

5⃣　立方体ABCD-EFGHにおいて、$${\vec{a}:=\overrightarrow{\mathrm{HE}}, \: \vec{b}:=\overrightarrow{\mathrm{HG}}, \: \vec{c}:=\overrightarrow{\mathrm{HD}}}$$とするとき、次のベクトルを$${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$$で表せ。
①  $${\overrightarrow{\mathrm{HF}}}$$　　　　②  $${\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$$　　　　③  $${\overrightarrow{\mathrm{HB}}}$$　　　　④  $${\overrightarrow{\mathrm{CE}}}$$
※ 立方体は正六面体ともいいます。

6⃣　四面体OABCにおいて、辺ABの中点をM, $${\vec{a}:=\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \: \vec{b}:=\overrightarrow{\mathrm{OB}}, \: \vec{c}:=\overrightarrow{\mathrm{OC}}}$$とするとき、次のベクトルを$${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$$で表せ。
①  $${\overrightarrow{\mathrm{AB}}}$$　　　　②  $${\overrightarrow{\mathrm{CA}}}$$　　　　③  $${\overrightarrow{\mathrm{OM}}}$$　　　　④  $${\overrightarrow{\mathrm{CM}}}$$

注意：問題文は「四面体」なので、すべての辺の長さが等しいとは言っていません。もしも「正四面体」なら、正三角形で囲まれた四面体になります。

7⃣　平行六面体ABCD-EFGHにおいて、BCの中点をM, GHの中点をN, $${\vec{a}:=\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \: \vec{b}:=\overrightarrow{\mathrm{AD}}, \: \vec{c}:=\overrightarrow{\mathrm{AE}}}$$とするとき、次のベクトルを$${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$$で表せ。
①  $${\overrightarrow{\mathrm{DF}}}$$　　　　　　　　②  $${\overrightarrow{\mathrm{MN}}}$$

注意：平行六面体とは、向かい合う面が平行な六面体のことです(※1)。

8⃣　正方形ABCDを底面とする四角錐O-ABCDにおいて、辺ABの中点をM, $${\vec{a}:=\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \: \vec{b}:=\overrightarrow{\mathrm{OB}}, \: \vec{c}:=\overrightarrow{\mathrm{OC}}}$$とするとき、次のベクトルを$${\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}}$$で表せ。
①  $${\overrightarrow{\mathrm{BC}}}$$　　　　②  $${\overrightarrow{\mathrm{OD}}}$$　　　　③  $${\overrightarrow{\mathrm{DB}}}$$　　　　④  $${\overrightarrow{\mathrm{MC}}}$$

注意：正四角錐と 8⃣ の四角錐は異なります。正四角錐は底面が正方形で、側面は二等辺三角形です(※1)。