31.04 ベクトルの初歩（基本演習１ 平面ベクトル）

ベクトルの修得には、幾何ベクトルの基本を身に着けることだと思います。最初の部分を軽く流しがちですが、躓く要因は、基本の理解にあることが多いものです。今回は平面ベクトル、次回は空間ベクトルの基本演習で基本の理解を深めましょう。

質問　幾何ベクトルの定義を述べてください。

※ この答えは各自で確認してください。

基本演習（平面ベクトル）

1⃣　平行四辺形ABCDの対角線の交点をOとし、$${\vec{a}:=\overrightarrow{\mathrm{OA}}, \: \vec{b}:=\overrightarrow{\mathrm{OB}}}$$とする。このとき、次の各ベクトルを$${\vec{a}, \vec{b}}$$で表せ。
① $${\overrightarrow{\mathrm{AB}}}$$　　　　② $${\overrightarrow{\mathrm{BC}}}$$　　　　③ $${\overrightarrow{\mathrm{AC}}}$$　　　　④ $${\overrightarrow{\mathrm{CD}}}$$

2⃣　正六角形ABCDEFの対角線の交点をOとし、$${\vec{a}:=\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \: \vec{b}:=\overrightarrow{\mathrm{AF}}}$$とする。このとき、次の各ベクトルを$${\vec{a}, \vec{b}}$$で表せ。
① $${\overrightarrow{\mathrm{FC}}}$$　　　② $${\overrightarrow{\mathrm{AE}}}$$　　　③ $${\overrightarrow{\mathrm{AD}}}$$　　　④ $${\overrightarrow{\mathrm{CE}}}$$　　　⑤ $${\overrightarrow{\mathrm{DB}}}$$

3⃣　平行四辺形ABCDの対角線の交点をOとし、$${\vec{a}:=\overrightarrow{\mathrm{AC}}, \: \vec{b}:=\overrightarrow{\mathrm{DB}}}$$とする。このとき、次の各ベクトルを$${\vec{a}, \vec{b}}$$で表せ。
① $${\overrightarrow{\mathrm{AB}}}$$　　　　　　　　　　　② $${\overrightarrow{\mathrm{BC}}}$$

4⃣　正六角形ABCDEFにおいて、$${\vec{a}:=\overrightarrow{\mathrm{AC}}, \: \vec{b}:=\overrightarrow{\mathrm{AE}}}$$とする。このとき、次の各ベクトルを$${\vec{a}, \vec{b}}$$で表せ。（少難）
① $${\overrightarrow{\mathrm{AB}}}$$　　　　　　　② $${\overrightarrow{\mathrm{CD}}}$$　　　　　　　③ $${\overrightarrow{\mathrm{BC}}}$$

※ 4⃣のヒントは少し下に４つありますが、少なくとも３分は考えてみてください。

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4⃣の第１ヒント：正六角形ABCDEFの対角線を引き、その交点をOとする。

4⃣の第２ヒント：２つの平行なベクトル$${\vec{a}, \: \vec{b}}$$は$${\vec{b}=k\vec{a}\:\:(k\in \mathbb{R})}$$と表せる。

4⃣の第３ヒント：①はAF, FEを２辺とする菱形を利用すると解ける。
他に、CDを１辺とする正六角形を描いても解ける。

4⃣の第４ヒント：②以降はすでに求めた結果を利用するのが１つの方法。

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※ 平面ベクトルにおいては

平行でない２つのベクトル$${\vec{a}, \: \vec{b}}$$が与えられたら、他のどんなベクトルも$${k\vec{a}+\ell\vec{b} \:\: (k, \ell \in \mathbb{R})}$$の形で表すことができます(※1)。

この事実をもとに問題が作られています。