8-1．いまさらきけない連立方程式（連立方程式を扱う前に…）

これまでの方程式は未知数が１個だけでした。このシリーズ８で扱う方程式は未知数が２個以上となります。例えば、ｘ＋ｙ－３＝０です。ただし、未知数ｘ、ｙは実数の範囲で考えることにします。
注：特に断らない限り、未知数は実数の範囲で考えることにします。

ところで、どういうものを方程式と呼ぶか覚えていますか。「数学をする」というのはこういうところから始まるのです。これまで扱ってきた１次方程式や２次方程式を答えても方程式を答えたことにはなりません。

等式① 3x-12=3(x-4) と等式② 3x-12=x+2 の違いはわかりますか。等式①は右辺を左辺に移項して整理すると 0=0 となります（もしくは、右辺の括弧を外すと左辺と一致します）が、等式②は2x-14=0 となります。別な言い方をすると、①はどんな値をｘに当てはめても等号が成り立ちますが、②はｘの値が７でのみ等号が成り立ちます。①を恒等式といい、②は(１次)方程式といいました。このことは、シリーズ３の方程式で話をしています。

では先に上げた等式ｘ＋ｙ－３＝０は、本当に方程式なのでしょうか。
ｘに１、ｙに１を当てはめてみると、左辺＝1+1-3=-1 となり等号は成り立ちません。これで、恒等式でないことは判りました。ｘが１でｙが２なら等号が成り立ちますね。他にｘが２でｙが１のときも成り立ちます。

ここで数学用語を導入します。これまで、「当てはめる」という表現を用いてきましたが、今後は代入するという言葉を使うことにします。例えば、「ｘに１を当てはめる」は「ｘに１を代入する」といいます。慣用的に、「ｘ＝１を代入する」と表現します。代入は読んで字の如く、ｘの代わりに１を入れるという意味です。
さらに、方程式ｘ＋ｙ－３＝０をみたす値の組（1, 2）を方程式の解(ｶｲ)といいます。組には順番も要請することにするので、(1, 2) と書いたら、x=1でy=2を意味します。例えば、(x, y)=(2, 1)も方程式ｘ＋ｙ－３＝０の解です。

問題　方程式ｘ＋ｙ－３＝０の解を、(x, y)=(1, 2), (2, 1) の他に３組挙げてみてください。ない場合はないと答えてください。

答え　(x, y)=(0, 3), (3, 0), (4, -1), (1/2, 5/2), (0.5, 2.5) など、無数にあります。

負の数や分数、小数に気づけるかを確認したかったのです。それに気づければ、解が無数にあることに気づいたと思います。ここが大切なのです。
解として、(√2, 3-√2) を答えた人がいるかもしれませんね。このような無理数を答えたのなら、これまでのシリーズを深く理解していると思います。
※ ルート記号の屋根がないのはご勘弁ください。

少し難しいと思いますが、こういうことに気づいた人もいると思います。
ｘの値を決めればｙの値が決まる（ｙの値を決めればｘの値が決まる）ということです。
つまり、ｘを a とすれば、ｙは 3-a に決まります。したがって、方程式 ｘ＋ｙ－３＝０の解は、(x, y)=(a, 3-a)（ただし、a は任意の実数）と書けます。（※１）

最後に、もう一度いいます。方程式ｘ＋ｙ－３＝０の解は無数にあるのです。これまで扱ってきた方程式とは様相が違いますね。▢

※１　「任意」は「ニンイ」と読みます。意味は「好き勝手に」です。
したがって、「aは任意の実数」とは、aは好き勝手な実数を考えていいです（意訳）と読み取ります。この任意という表現は、数学では頻繁に使われるので、そのうち慣れると思います。