28.05 指数関数と対数関数（指数法則　有理数指数への拡張）

前回は指数を正の整数から整数に拡げましたが、今回はさらに指数を整数から有理数に拡げます。

指数法則

整数$${m, \: n}$$と０でない実数$${a, \: b}$$に対して次が成り立つ。

　　(1)  $${a^ma^n=a^{m+n}}$$,　　(2)  $${(a^m)^n=a^{mn}}$$,　　(3)  $${(ab)^n=a^nb^n}$$.  ▮
※ これは整数指数の指数法則です。

有理数は$${\dfrac{整数}{\:整数\:}}$$と表せる数のことです。ここには整数も分数で表される小数も含まれています。

形式的には上の "整数" を単に "有理数" とするだけのようですが、これでは不都合なことが生じます。整数に拡張するときに "０でない実数" としたようにここでも条件が加わります。

約束

　　　正の整数$${m, \: n}$$,  正の実数$${a}$$に対して次のように定義します。

　　　　　　　　　　$${a^{\frac{1}{\:n\:}}:=\sqrt[n]{a}, \quad a^{\frac{m}{\:n\:}}:=\sqrt[n]{a^m}}$$.  ▮

※ $${a>0}$$としているのは実数のみを扱いたいから。

なぜこのように定義したのか