31.12 ベクトルの初歩（内積の基本演習）

内積の定義、内積の性質が覚えられたのなら、基本が理解できているかを確認し、さらに理解を深めましょう。そのための問題を用意しました。

それぞれ３～５分は考えてみてください。考えるということは思い出すことでもあるので、脳にはよい刺戟になっています。いずれも基本を思い出せば解けなくはないと思いますが、4⃣は少し難しいかもしれません。

１問でも自力で解ければそれはご自身の力です。たとえ１時間でも２時間でも、断続的に数日考えて解けてもそれは変わりません。早く解けたから、時間が掛かったからは関係ありません。考えるだけなら、机上でなくてもできますよね。散歩や通勤･通学途中は最高の場所です。

基本演習

1⃣　$${|\vec{a}|=1, \: |\vec{b}|=\sqrt{3}, \: |\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{7}}$$のとき、$${\vec{a}}$$と$${\vec{b}}$$の成す角の大きさを求めよ。

2⃣　$${|\vec{a}|=\sqrt{2}, \: |\vec{a}-2\vec{b}|=\sqrt{10}, \: \vec{a}\cdot \vec{b}=2}$$のとき、$${\vec{a}}$$と$${\vec{b}}$$の成す角の大きさを求めよ。

3⃣　$${|\vec{a}|=2, \: |\vec{b}|=3, \: |\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{17}}$$のとき、$${\vec{a}+t\vec{b}}$$と$${\vec{a}-\vec{b}}$$が垂直となるように実数$${t}$$の値を定めよ。

4⃣　１辺の長さが１の立方体ABCD-EFGHがある。このとき、次の内積を求めよ。
　① $${\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{AF}}}$$　　② $${\overrightarrow{\mathrm{DE}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{FC}}}$$　　③ $${\overrightarrow{\mathrm{BG}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{DE}}}$$　　④ $${\overrightarrow{\mathrm{AF}}\cdot \overrightarrow{\mathrm{FC}}}$$