31.03 ベクトルの初歩（ベクトルの代数的性質）

ベクトルの計算について１節入れます。もちろん、幾何ベクトルを考えるときにも使われます。

これまでに、ベクトルの演算として "和" と "実数倍" を導入しました。
差も演算じゃないの？と思ったかもしれません。確かに１つの演算ですが、差は逆ベクトルの和として定義したので和に含めて考えます(※1)。

ベクトルの代数的性質

ベクトルの和およびベクトルの実数倍によって、新たなベクトルが生まれました。平面または空間内の２つのベクトルを$${\vec{a}, \: \vec{b}}$$とし、$${k}$$を実数とすると

　　　　　　　　　　$${\vec{a}+\vec{b}, \:\: k\vec{a}}$$  は　ベクトル

です。平面で考えていれば平面上のベクトルで、空間で考えていれば空間内のベクトルということです。

ベクトル$${\vec{a}, \: \vec{b}}$$,  実数$${k, \: \ell}$$に関して次の性質が成り立つ：
[１]（ベクトルの和）
　　　　　　　　　①  $${(\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c}),}$$
　　　　　　　　　②  $${\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a},}$$
　　　　　　　　　③  $${\vec{a}+\vec{0}=\vec{a},}$$
　　　　　　　　　④  $${\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}.}$$

[２]（ベクトルの実数倍）
　　　　　　　　　⑤  $${k(\vec{a}+\vec{b})=k\vec{a}+k\vec{b},}$$
　　　　　　　　　⑥  $${(k+\ell)\vec{a}=k\vec{a}+\ell\vec{a},}$$
　　　　　　　　　⑦  $${(k\ell)\vec{a}=k(\ell\vec{a}),}$$
　　　　　　　　　⑧  $${1\vec{a}=\vec{a}.}$$

これら８つの性質を覚えてくださいとは言いません。
なお、これとほぼ同じ式が大学１年の線形代数学でも出てきます(※2)。

これら８つの性質が成り立って何がうれしいかというと
　　　　　　　　　１次式のようにベクトルが扱える
ということです。例を２つ挙げます。

　　例１　次のように計算ができます：
　　　　(1)  $${3\vec{a}-7\vec{a}+2\vec{a}=(3-7+2)\vec{a}=-2\vec{a}.}$$

　　　　(2)  $${3(\vec{a}+2\vec{b})-5(2\vec{a}-\vec{b})=3\vec{a}+6\vec{b}-10\vec{a}+5\vec{b}}$$
　　　　　　　　　　　　　　　　$${=(3-10)\vec{a}+(6+5)\vec{b}}$$
　　　　　　　　　　　　　　　　$${=-7\vec{a}+11\vec{b}.}$$