31.08 ベクトルの初歩（図形への利用その２）

平面上または空間内のベクトルにおいて、３点が同一直線上にある条件をベクトルで表現する方法を理解し、それを利用する話です。

３点が同一直線上にある条件

３点 A, B, P が同一直線上にある状況を考えてみましょう。

見やすいように、点Aを始点とするベクトルを考えてみます。このとき、２つのベクトル$${\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \: \overrightarrow{\mathrm{AP}}}$$は、向きが同じなので実数倍の関係になっています：$${ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=t\overrightarrow{\mathrm{AB}}\:\:(t\in \mathbb{R}).}$$

点Ｂを始点とする２つのベクトル$${\overrightarrow{\mathrm{BA}}, \: \overrightarrow{\mathrm{BP}}}$$に関しても、向きは逆ですが、一方をマイナス倍することでが同じ向きになるので、やはり実数倍の関係になっています：$${ \overrightarrow{\mathrm{BP}}=t\overrightarrow{\mathrm{BA}}\:\:(t\in \mathbb{R}).}$$