量子複製不可能定理

量子コンピュータでは、０と１の重ね合わせの状態をもった量子ビットが利用されます。重ね合わせの状態の量子ビットを複製することができないというのが、量子複製不可能定理です。２つの量子ビット$${\ket{\psi_{1}}}$$と$${\ket{\psi_{2}}}$$を考えます。これらが独立に存在するときの状態は、$${\ket{\psi_{1}}\otimes\ket{\psi_{2}}}$$と書きます。量子ビット$${\ket{\psi_1}}$$を$${\ket{\psi_2}}$$にコピーすることを考えましょう。

演算子$${C}$$によって$${\ket{\psi_1}}$$を$${\ket{\psi_2}}$$にコピーできたとすると、

$${C(\ket{\psi_{1}}\otimes\ket{\psi_{2}})= \ket{\psi_{1}}\otimes\ket{\psi_{1}}}$$

となります。この$${C}$$によるコピーを別の量子ビット$${\ket{\psi_{3}}}$$に対してもおこなうと、

$${C(\ket{\psi_{3}}\otimes\ket{\psi_{2}})= \ket{\psi_{3}}\otimes\ket{\psi_{3}}}$$

となります。上２つの式の内積をとると、左辺は

$${\bra{\psi_{2}}\otimes\bra{\psi_{3}}C^{-1}C\ket{\psi_{1}}\otimes\ket{\psi_{2}}= \braket{\psi_{3}|\psi_{1}}}$$

となり（$${C^{-1}C}$$はユニタリー性によって単位行列になります）、右辺は

$${\bra{\psi_{3}}\otimes\braket{\psi_{3}|\psi_{1}}\otimes\ket{\psi_{1}}=\braket{\psi_{3}|\psi_{1}}^2}$$

となります。これらから、以下のことが示せます。

$${\braket{\psi_{3}|\psi_1}=\braket{\psi_{3}|\psi_1}^2}$$

これから、$${\braket{\psi_3|\psi_1} }$$の解は、$${\braket{\psi_3|\psi_1} = 1 }$$または$${0}$$となります。つまり、コピーが可能になるのは、$${\ket{\psi_1}=\ket{\psi_3}}$$の場合か、$${\ket{\psi_1}\perp\ket{\psi_3}}$$の場合のみということになります。よって、一般の重ね合わせ状態はコピーができません。

これが、量子複製不可能定理（no-cloning theorem）またはクローン禁止定理です。