線型代数整理〜他人に読ませる気はない〜

私の整理目的として書く。要点は詰まってるけど他人に読ませる気はないから読めたものではないと思う。

群：閉結単逆
環：アーベル群とモノイド。＋についての分配則
体：可換環で加法単位元以外の逆元がある。

線型空間：
アーベル群Vと体Kを取ってくる。Vはスカラー倍について閉じ（ab）v=a（bv）、分配則、1v＝vが成立するときVはK上に線型空間をなすという。

多項式環：ベクトルに指数法則付きの×を付与する。

行列：ベクトルの拡張

det：単位性・多重線型性・交代性。基底：任意に取った要素が線型独立。線型結合で空間を張る。

転置不変。積に可換。故|A|=|Ax|/|x|でAは体積変換率。
グラムの行列式。内積で体積は決まる。
　〜　〜
A A＝A A＝｜A｜E。対角成分は異なる余因子展開。それ以外は空振り余因子展開で0。
正則（逆行列の存在）と行列式非0は等価。
クラメルの公式　i成分だけ変える。証明は手抜き工事。
直線の外延的記法に余因子行列をかけると内包的記法det比（面積比）が出てくる。
射影。n-1次元対象をn次元で考えてn＋1次元に拡張する。
n-1本の基底と定点と変数。余次元。1次元とn-1次元は双対。

線型性は合成において保存。
線型性があれば基底の行き先と成分だけで決まる。基底は標準規定でなくてもいい。
行列と線型変換は1：1。ただし基底による。基底に依りたくないので変換行列によって統制する。
行列の合成は線型変換であるから対応する行列がある。それを行列の積として定義する。
行列は基底の行き先を並べているだけなので数の並びでなくてもok
行列の和とスカラー倍を自然に定めるとベクトルを右からかけることが線型写像になる。　　　

備忘録　数ベクトルでない行列