2024年度第1回全統記述模試数学Ⅲ型全問解説

2024年5月に実施された河合塾全統記述模試の数学Ⅲ型全問解説になります。 模試で120点以上を取りたい方向けの動画となっております。 現時点で50~60点未満の場合は、まず解説を読んで大問1や大問2以降の各(1)が解けるように基本的な公式や解法を叩き込みましょう!

【1】
(1) 不等式2| x-2|-x≦4を解け。
(2) 関数f(x)=log₂(x-1)+2log₄(3-2x)の最大値を求めよ。
(3) 曲線y=x³+2x²とx軸によって囲まれた部分の面積を求めよ。
(4) Σ 1/(4k^2-1) をnを用いて表せ。
(5) OA=2,OB=3,∠AOB=60°である三角形OABにおいて辺ABを1:3に内分する点をCとする。
(ⅰ) OCをOA,OBを用いて表せ。
(ⅱ) |OC|を求めよ。


【2】 1個のサイコロを繰り返し振る。k回目(k=1,2,3,…)に奇数の目が出たら、その目の数をx_kとし、偶数の目が出たら、その目の数を2で割った商をx_kとする。 S_n=x_1+x_2+x_3+…+x_n (n=1,2,3,…) と定める。
(1) S_1=3 である確率、S_2=6 である確率をそれぞれ求めよ。
(2) S_4=12 である確率を求めよ。
(3) S_4=12 であったとき、S_2=6 である確率を求めよ。

【3】 Aを正の定数とし、0≦θ<2πにおいて、θの方程式 asin2θ-2a^2cosθ-sinθ+a=0  …(*) を考える。
(1) a=1のとき、(*)を解け。
(2) (*)がちょうど3つの解をもつようなaの値を求めよ。
(3) (*)がちょうど4つの解をもつとする。4つの解のうち、最小のものをα、最大のものをβとするとき、α+βの値を求めよ。


【4】 xy平面上において、連立不等式 x≧0,y≧0,x+y≦1 で表された領域をDとする。
(1) 点P(x,y)がD上を動くとき X=2x-6y,Y=5x+y によって定められる点Q(X,Y)が存在する領域をXY平面上図示せよ。
(2) aを実数の定数とする。点P(x,y)がD上を動くとき   (2x-6y-a)^2+(5x+2y)^2 の最大値をaを用いて表せ。


【5】 平面上に直線lとそれに接する半径1の円C_1がある。C_1の右側にあり、C_1とlに接する円をC_2とする。 C_nの中心をA_n,半径をr_n,C_nとlの接点をB_nとすると A_nB_n:A_nA_(n+1)=1:p が成り立っている。ただし、pは1<p<2を満たす定数とする。
(1) r_(n+1)をr_n,pを用いて表し、r_n求めよ。 また、Σr_n=3となるようなpの値を求めよ。
(2) pを(1)で求めた値とする。
(ⅰ) \ B_nB_{n+1}を求めよ
(ⅱ) 極限値lim[n→∞]{B_1B_n}を求めよ
(ⅲ) α=lim[n→∞]{B_1B_n}とし、βを正の定数とする。   極限limn→∞(B1Bn-α)βn⬚が0以外の値に収束するようβの値と、そのときの極限値を求めよ。


【6】 aを正の定数とし、iを虚数単位とする。複素数zに関する2つの方程式 z^3=-8i…①   z^2-2az+8=0…②   を考える。
(1) ①を満たすzについて、zの極形式を z=r(cosθ+isinθ)    r>0,0≦θ<2π と表すとき、r,θの値を求めよ。
(2) ②が異なる2つの虚数解α,βを持ち、複素数平面上で3点0,α,βを頂点とする三角形の面積が4であるとする。ただし、(αの虚部)>(βの虚部)。 (ⅰ) aの値とα、βを求めよ。
(ⅱ)偏角を0以上2π未満の値で考えるとき,①の解のうち偏角が最大であるものをγとする。複素数平面上で3点α,β,γ^nを頂点とする三角形の内部に原点が存在するような正の整数nを求めよ。

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