【大学入試問題解説】２変数関数(出典：東大・文系2000年第２問)

こんにちは。今回は東大の問題を取り上げて２変数関数について解説していきます。

問題

まずは、問題を見てみましょう。余裕のある人は下にスクロールせずに自力で解いてみましょう。

東大・文系2000年第２問

概要

出題範囲：関数(I)、座標平面(II)
難易度：7　(1　⇦　簡単　　難しい　⇨　10)
標準解答時間：25分

２変数関数の基本問題です。２変数関数は高校数学ではあまり習うことのない内容ですが、難関大の入試問題では度々出題されるテーマですので、しっかりと解けるようになっておく必要があります。

解説の前に

そもそも２変数関数って何？と思われる方も少なくないと思います。中学・高校で習った関数は「１変数関数」と呼び、変数が$${x}$$のみの関数です。例えば、

$${y=2x-5}$$
 $${f(x)=e^x}$$
 $${f(x)=\displaystyle\frac{x+2}{\sin{x}}}$$

などはすべて１変数関数です。動く値(変数)が１つしかないからです。それに対し、例えば

$${z=2x+5y-1}$$
 $${f(x,y)=x^2+2y^2-4y+9}$$

のように動く値が$${x}$$と$${y}$$の２つある関数を２変数関数と呼びます。２
変数関数の最大・最小を考える時の鉄則があります。

片方の変数を固定して、１変数関数として扱う。

次の例題を考えてみましょう。

例題

まずは$${y}$$を固定して、$${x}$$の１変数関数として最小値を考えてみましょう。$${y}$$が定数であることを強調するために、$${y=a}$$とおいて見やすくしましょう。

$${f(x,a)=2ax+3a^2-6a+8}$$

これは$${x}$$についての１次関数です。$${0 < a <2}$$ですから、傾きが正の１次関数となります。つまり、最小値は$${x=0}$$のときで、

$${f(0,a)=3a^2-6a+8}$$

となります。ここで$${y}$$の固定を外します。$${f(0,y)=3y^2-6y+8}$$の最小値を考えるだけですが、ただの２次関数となります。$${3y^2-6y+8=3(y-1)^2+5}$$となるので、$${y=1}$$のとき最小値５をとります。

このように、１変数ずつの最小値を考えていくのが定石です。では本題に戻りましょう。

解説

まず$${z=1-ax-by-axy}$$とおきます。$${x=X}$$を固定してみると、

$${z=-(aX+b)y-aX+1}$$

と$${y}$$についての１次関数となります。よって、$${z}$$が最小となるのは$${y}$$が$${-1}$$または$${1}$$の値をとるときで、

$${y=-1}$$のとき、$${z=b+1}$$
$${y=1}$$のとき、$${z=-2aX-b+1}$$

のどちらかが最小となります。どちらが最小値なのかは一旦無視して下の式$${z=-2ax-b+1}$$の最小値を考えましょう。これもまた、１次関数となるので、$${z}$$が最小となるのは、$${x}$$が$${-1}$$または$${1}$$の値をとるときです。

$${x=-1}$$のとき、$${z=2a-b+1}$$
$${x=1}$$のとき、$${z=-2a-b+1}$$

ここまでで、最小値の候補となるのは次の３つの値とわかりました。

$${z=b+1}$$
$${z=2a-b+1}$$
$${z=-2a-b+1}$$

最小値が正ということはつまり、これら３つの値がすべて正となることと同じことです。よって

$${b>-1}$$
$${b<2a+1}$$
$${b<-2a+1}$$

これらを図示して、次の図のようになります。

答え

下の図の網目部分。ただし、境界を含まない。

解答図

まとめ

２変数関数の最大・最小の基本問題を取り上げました。２変数関数の問題は他の大学でもよく出題されるテーマですので、慣れておくと良いでしょう。ここまで読んでくださりありがとうございました。