ベクトル解析への一歩として II
初めに(雑談と導入)
皆さんお久しぶりです！
最近学校の後期末試験が終わって1年間の成績が帰ってきました。後期末だけの順位としては"2位"、1年間での順位は"3位"として1年生の試験を終えられました。
前期中間の段階では｢1位目指せなくないな｣なんてことを思っていましたが、前期末で｢このクラスにはバケモノがいる｣と気づいてから2位を目指して頑張っていました。
結局は3位になってしまいましたがね 笑
2年生からはそのバケモノとはコースが違うので新たに1位を目指して頑張りたいなと思っています。
さあそんなこんなで記事の話題と全く関係ない雑談が続きましたが、以下では空き時間を使ってちょくちょく勉強してきた線形代数の進捗状況の報告をしたいと思います。
実は後期末試験の勉強のこともあり、あまり勉強時間を取れなかったです。
それでは進捗状況へどうぞ〜〜
進捗状況
現在は第6章 6.12 商ベクトル空間 を読んでいる感じ。
特に補題の証明で詰まっている。
補題が理解できなかったら定理の証明も理解できないので、結構大事なところ。
詳しく説明できる方がいらっしゃいましたら、
僕のX(旧Twitter) @kintakushin2 のDMまでよろしくお願いします。。。🙏
第4章
第4章は行列式についてのお話で、 置換の概念を導入してから行列式を定義し、基本的性質や展開、またいろいな行列式が出てきた。
実は学校の選択科目で既に行列式の計算はできるようになっていたが、それぞれの操作が許される理由は知らなかった。
その理由を理解する章だったと思っている。
置換の導入はすぐに理解できたが、行列式の定義が気持ち悪すぎて不矛盾さを理解するのに時間がかかった。
基本的性質は行列式の定義に沿って証明されるので置換のイメージとΣ(総和)の結びつけを頭で操作できればそこまで難しくはなかった。
(余因子)展開では余因子が新しく導入されただけで、簡単だった。余因子行列もでてきて、逆行列を求める際に重要な役割を果たすこともわかり、便利だな〜と。
難しかったのが、ファンデアモンデの行列式 の証明。証明中に、｢多変数多項式版の因数定理｣や｢任意の多変数の整数係数多項式は既約多項式の積として（定数倍を無視して）一通りに表される｣という定理を"暗"に使用されていることもあり、これはパスだなとページを飛ばしたくらい難しかった。知らない定理を"暗"に使用してくるところが、親切じゃないなーと思った。
第5章
第5章は連立1次方程式の新たな解法についてのお話。初めに逆行列を使った解法について述べ、その次にクラメールの公式を証明する流れだった。
このクラメールの公式も学校の選択科目のおかげで計算はできる状態だった。証明を理解すればこの第5章はパッと終わる感じだった。
(このクラメールの公式を使えると機械的に連立1次方程式が解けるので、覚えておくと頭を休められるよ！！笑)
第6章
商ベクトル空間以外は読み終わっているのでまとめをこの記事で書くことにします。
第6章はベクトル空間についてのお話。これまでの章で扱ってきたn項数ベクトルではなく、これらを抽象化して一般のベクトル空間を考え、部分空間、1次独立、1次従属、基底、次元などについて考えた。
抽象的ベクトル空間では、数だけでなく、ベクトルや関数、数列などその他いろいろなものを考えられるため、イメージ化がすごく大事な章だったと思う。
基底と次元の関係についての話でも同じことがいえるので、ビジュアル化には慣れた。
また、以前までの章で扱った数ベクトル空間だけでなく、一般のベクトル空間の間の線形写像を定義する話もでてきた。そこから線形写像と行列を結びつける話があり、表現行列が登場した。
それから同型写像を挟んで商ベクトル空間がでてくる流れになっていた。
今回のまとめ
2ヶ月ほどで3章しか終わらせられなかったのが残念です。。
目的の内積・外積の章が第10章ですので、まー長い！！
前回の記事を見てもらえればわかるのですが、次の章が"ランク"、第8章が"連立1次方程式"、第9章が"固有値と固有ベクトル"となっているので、まだ時間がかかりそうです。
一応使用書のページで言うと折り返し地点(170/320)なので、これからも頑張りたいと思います。
最後に
今回も記事を見て下さりありがとうございました！
今回の範囲では抽象的なことから入るのではなく、具体的なことから入った方が、頭への入り方が違うなーと感じた章が多かったです。
数学は 抽象的→具体化 ではなく
具体的→抽象化 に限りますね！
最近は線形代数だけでなく、英語の勉強にも取り組んでいるので、そっちの方の記事も出せたらなーと考えています。
それではまたー
↑前回の記事
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