本当は面白い物理の授業　009 水平投射実践編

それでは、
「水平投射」の理解を深めるために、数値を入れて計算してみましょう。

前回の投降で、「水平投射」の概念を勉強しました。

その時、導き出された式が以下になります。

それでは実践です。

高い建物の屋上から、水平にボールを投射します。
その時の初速は20m/sです。

ボールがどの様な軌道を描くのか計算します。
また、空気抵抗は無視できるものとします。

最後にボールの位置を図示します。
よって、今回は有効数字は3桁としておきます。
(初期の鉛直方向の移動量の差を明確にするため)

重力加速もg=9.81(m/s^2)とします。

また、有効数字の考え方は別の授業で説明します。

   t:経過時間
   Vx : ボールの水平方向速度
   Vy : ボールの鉛直方向速度
   V : ボールの速度
   X : ボールの水平方向移動量
   Y : ボールの鉛直方向移動量

《ボールを投げ出した瞬間》
   t = 0(s)
   Vx = 20.0(m/s)
   Vy = 0(m/s)
   V = 20.0(m/s)
   X = 0(m)
   Y = 0(m)

《ボールを投げ出して0.5秒後》
   t = 0.50(s)
   Vx = 20.0(m/s)    
   Vy = 4.91(m/s)   ←4.905
   V = 20.6(m/s)    ←20.59…
   X = 10.0(m)
   Y = 1.23(m)    ←1.226…

《ボールを投げ出して1.0秒後》
   t = 1.00(s)
   Vx = 20.0(m/s)    
   Vy = 9.81(m/s)
   V = 22.3(m/s)    ←22.27…
   X = 20.0(m)
   Y = 4.91(m)    ←4.905

《ボールを投げ出して1.5秒後》
   t = 1.50(s)
   Vx = 20.0(m/s)    
   Vy = 14.7(m/s)   ←14.715
   V = 24.8(m/s)    ←24.83…
   X = 30.0(m)
   Y = 11.0(m)    ←11.03…

《ボールを投げ出して2.0秒後》
   t = 2.00(s)
   Vx = 20.0(m/s)    
   Vy = 19.6(m/s)    ←19.62
   V = 28.0(m/s)    ←28.01…
   X = 40.0(m)
   Y = 19.6(m)   ←19.62

《ボールを投げ出して2.5秒後》
   t = 2.50(s)
   Vx = 20.0m/s)    
   Vy = 24.5(m/s)    ←24.525
   V = 31.6(m/s)    ←31.64…
   X = 50.0(m)
   Y = 30.7(m)   ←30.65…

《ボールを投げ出して3.0秒後》
   t = 3.00(s)
   Vx = 20.0(m/s)    
   Vy = 29.4(m/s)    ←29.43
   V = 35.6(m/s)    ←35.58…
   X = 60.0(m)
   Y = 44.1(m)    ←44.145

時間経過ごとにボールの「位置(X,Y)」と「速度」を図に描くと、下図のようになります。

Vx : 緑の矢印  ボールの水平方向速度
Vy : 青の矢印  ボールの鉛直方向速度
V  : 赤の矢印  ボールの速度(合成した速度)

水平方向の速度は一定ですが、鉛直方向に加速します。よって、ボールの速度を表す赤矢印が段々と下を向いていきます。

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それでは、「水平投射」の実験してみましょう。

ここでは、
「ボールの落下位置」から「ボールの初速度」を算出してみます。

「ボール」と「タオル」を用意します。
野球やソフトボール用のボールが適しています。
できる限り空気抵抗の影響を受けないような重めのボールです。

机の横に「タオル」を敷きます。「タオル」の役目は、クッションです。無くても実験できますが、床が傷むかもしれません。

机の高さ(ボールが鉛直方向に落ちる距離)を測りましょう。
例えば、床から机の上面までの鉛直方向の距離が0.80mだとします。

次に、机の上のボールを転がして、床の上に落下させます。

「机の端」から「ボールが落下した位置」の水平距離を測ります。
例えば、この距離が0.20mだったとします。

Y = 1/2・g・t^2
t = √(2Y/g)

t = √(2✖️0.8/9.8)
  = 0.40(s)

計算の結果、
ボールが床に落ちるまでの時間は0.40(s)です。

次に、水平方向の移動量から

X = Vx・t
Vx = X/t

Vx = 0.20/0.40
     = 0.50(m/s)

初速は0.50(m/s)だったと推測できます。

また、上記の実験と同時に、実際のボールの速度を測ってみましょう。

机の上に「定規📏」を置きます。その定規の横でボールを転がします。

スマホのスロー撮影機能で動画を撮ります。
ボールが机の上を移動する距離と時間から、ボールの速度が算出します。

ボールは机の上を転がりながら減速しています。よって、この方法で測定した速度より、実際に飛び出した瞬間の初速のほうが、やや小さくはなります。

「スマホの測定値からの計算結果(初速)」と「落下距離からの計算結果(初速)」を比べてみましょう。

もちろん、いくらか空気抵抗や測定誤差があります。
よって、完全には同じ値になりません。

しかし、近い値が出たのではないでしょうか。

「水平投射」の理解を深めることは出来たでしょうか。

本当は面白い物理の授業010へ続く。