図式で学ぶ線形代数番外編その2 ～ベクトル解析～

2022年11月18日 15:58

連載の記事一覧：
#1 図式の基礎と線形代数の基礎
 #2 スペクトル分解と特異値分解
 #3 テンソル積およびトレース・転置・内積
 #4 行列が作るヒルベルト空間
 番外編列ベクトルや行列での微分
番外編その2 ベクトル解析

3次元実ベクトル空間 $${ \R^3 }$$ でのベクトル解析を図式で表現する方法を述べます。多少の慣れが必要ですが，図式を活用すると，数式を用いる場合と比べて素直に表現できて，またいろいろな公式をすぐに導けるようになります。この記事により，図式のおもしろさが少しでも伝われば幸いです。

概要

次の行列を導入します。

ただし，$${ \epsilon_{ijk} }$$ は

$$
\epsilon_{ijk} \coloneqq
\begin{dcases}
1, & (i,j,k) \in \{ (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) \} \\
-1, & (i,j,k) \in \{ (1,3,2), (2,1,3), (3,2,1) \} \\
0, & それ以外 \\
\end{dcases}
$$

で定義され，レヴィ・チヴィタの記号とよばれます。2個のベクトル $${ \vec{a} }$$ と $${ \vec{b} }$$ のクロス積（外積やベクトル積ともよばれます） $${ \vec{a} \times \vec{b} }$$ は，次の図式で表されます。

次式が成り立つことが知られています。

$$
(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} = (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} - (\vec{b} \cdot \vec{c}) \vec{a} \qquad (1)
$$

ただし，$${ \cdot }$$ は内積です。細かな規則はひとまずスキップして先に結論を示すと，図式では次のようにして導出できます。

この右辺第1項にある $${ \vec{a} }$$ と $${ \vec{c} }$$ が線でつながったものは内積 $${ \vec{a} \cdot \vec{c} }$$ のことです。このため，この項は $${ (\vec{a} \cdot \vec{c}) \vec{b} }$$ を表しています。右辺第2項も同様です。このことから，この図式が式(1)と対応することが何となくわかるのではないかと思います。

図式での計算方法を学べば，上のような図式を描くだけで導出できるようになります。数式を用いて式(1)を導出する場合と比べて，図式による導出のほうが素直でかつ速いと思います。