![見出し画像](https://assets.st-note.com/production/uploads/images/151189360/rectangle_large_type_2_350e6a458c95a4a0ed6b0db3a1b42a3f.png?width=1200)
無料🆓【院試解答】 京都大学 情報学研究科 数理工学コース サンプル問題A 常微分方程式
【院試解答】 京都大学 情報学研究科 数理工学コース サンプル問題A 常微分方程式
問題は京都大学 大学院情報学研究科 数理工学コース 大学院入試サンプル問題にあります。
京都大学情報学研究科京都大学情報学研究科数理工学コースの筆記試験、専門科目「常微分方程式」のサンプル問題Aの解答例です。もし誤字・脱字や、解答の誤りを見つけた場合には、連絡いただけると対応します。
解答一つ一つ、解説も含めて丁寧に作成しているので、無料では書くことが難しいです。応援する気持ちも込めてワンコインで購入していただけると励みになります。
また、京都大学情報学研究科京都大学情報学研究科数理工学コース及び大阪大学大学院情報科学研究科(IST)情報数理学専攻に関してなら、他の科目・年度の解答・解説のリクエストも受け付けています。
総評
<難易度評価> 易、やや易、標準、やや難、難の5段階評価。
(i)やや易
(ii)標準
(iii)易
(iv)やや難
<解答のポイント>
線形連立定数係数ODE。解は$${x=e^{At} x(0)}$$となる。$${A}$$の固有値及び固有ベクトルを求めて、行列の指数関数を計算するという、原理的にはオーソドックスな問題。$${n=2,3}$$の場合を考えるだけ((i)〜(iii))なら、計算をひたすら行えば良いが、(iv)を解くには結局一般のnについての解を求める必要がある。逆にそれが求まれば、それを適用する形で(i)-(iii)を解くことができる。よって、各問題ごとに重複した記述を繰り返していては、時間がかかるので、自信があればまず一般のnについての解を求め、それを適用する形で記述するとよい。
以下、ベクトルであっても太字では書かないこととする。また、$${I}$$を単位行列、$${O}$$を零行列とする。また、$${\frac{dx}{dt}}$$を$${\dot{x}}$$と書く。
(i)
解説
解答の流れとしては、まず一般の$${n}$$についての解を求め、それを$${n=2}$$に適用する形をとった。場合わけや行列式の計算などに慣れていないと、一般の$${n}$$についての解を求めるのが難しいかもしれない。
解答
一般の$${n}$$について、解$${x}$$を求める。
(a) $${b=0}$$のとき、
$${A}$$は対角行列であり、
$$
\begin{aligned}
x(t) &= e^{At}x(0) \\
&= \begin{pmatrix}
e^{at} & 0 & \dots & 0 \\
0 & e^{at} & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & e^{at}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0
\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
e^{at} \\ 0 \\ \vdots \\ 0
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
(b) $${b \ne 0}$$のとき
$${A}$$の行列式は、
$$
\begin{aligned}
\det A &=
\begin{vmatrix}
a+ b & b & \dots & b \\
b & a+ b & \dots & b \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b & b & \dots & a+ b
\end{vmatrix} \\
&= \begin{vmatrix}
a+nb & a+nb & \dots & a+nb \\
b & a+ b & \dots & b \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b & b & \dots & a+ b
\end{vmatrix} \quad(\because R_1\leftarrow R_1 + R_2 + \dots + R_n) \\
&= (a+nb) \begin{vmatrix}
1 & 1 & \dots & 1 \\
b & a+ b & \dots & b \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b & b & \dots & a+ b
\end{vmatrix} \quad \text{(第1行からa+nbを括り出した)} \\
&= (a+nb) \begin{vmatrix}
1 & 1 & \dots & 1 \\
0 & a & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & a
\end{vmatrix} \quad \text{(第1行で掃き出し)} \\
&= (a+nb) a^{n-1} \quad \text{(上三角行列の行列式)}
\end{aligned}
$$
よって、$${A}$$の固有方程式は、
$$
\begin{aligned}
\det(A - \lambda I) &=
\begin{vmatrix}
a+ b - \lambda & b & \dots & b \\
b & a+ b - \lambda & \dots & b \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b & b & \dots & a+ b - \lambda
\end{vmatrix} \\
&=(a+nb - \lambda) (a-\lambda)^{n-1} \\
&= 0
\end{aligned}
$$
よって、固有値は、$${b \ne 0}$$より、$${\lambda_1 = a}$$(重複度$${n-1}$$)、$${\lambda_2 = a+nb}$$(重複度$${1}$$)である。
固有値$${\lambda_1 = a}$$に対応する固有ベクトルを求める。$${A - aI}$$を計算すると、
$$
\begin{aligned}
A - aI &=
\begin{pmatrix}
b & b & \dots & b \\
b & b & \dots & b \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b & b & \dots & b
\end{pmatrix} \\
&= b
\begin{pmatrix}
1 & 1 & \dots & 1 \\
1 & 1 & \dots & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & \dots & 1
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
よって、一次独立な$${n-1}$$個のベクトルとして、
$$
\begin{pmatrix}
-n+1 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix},
\begin{pmatrix} 1 \\ -n+1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix},
\dots ,
\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \vdots \\ -n+1 \\ 1 \end{pmatrix}
$$
が取れる。(一次独立であることの確認は略。)
また、固有値$${\lambda_2 = a+nb}$$に対応する固有ベクトルは、
$$
\begin{aligned}
A - (a+nb)I &=
b \begin{pmatrix}
-(n-1) & 1 & \dots & 1 \\
1 & -(n-1) & \dots & 1 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & \dots & -(n-1)
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
よって、固有ベクトルとして、$${\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ \vdots \\ 1 \end{pmatrix}}$$ が取れる。
これらの固有ベクトルを列ベクトルとして並べた行列を$${P}$$とする。つまり、
$$
P = \begin{pmatrix}
-n+1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\
1 & -n+1 & 1 & \dots & 1 \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
1 & 1 & 1 & \dots & 1
\end{pmatrix}
$$
とすると、$${P}$$は正則であり、$${P^{-1}AP}$$は対角行列である。
さて、$${n=2}$$かつ$${b \ne 0}$$のとき、$${P=\begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}$$であり、$${P^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix}}$$である。よって、
$$
\begin{aligned}
x(t) &= e^{At}x(0) \\
&= P e^{\Lambda t} P^{-1} x(0) \quad (\Lambda = \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & a+2b \end{pmatrix}) \\
&= \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} e^{at} & 0 \\ 0 & e^{(a+2b)t} \end{pmatrix}
\left( -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \right)
\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} e^{at} + e^{(a+2b)t} \\ -e^{at} + e^{(a+2b)t} \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
これは、$${b=0}$$の場合も含む。よってこれが求める解である。
(ii)
解説
(i)の解答で、一般の$${n}$$についての解を求めたので、それを$${n=3}$$に適用する。なお、本問では、$${P^{-1}x(0)}$$を求めればいいので、$${P}$$の逆行列を全て求める必要はなく、$${P^{-1}}$$の第1列だけ求めればよい。
解答
$${n=3}$$かつ$${b \neq 0}$$のとき、$${P=\begin{pmatrix} -2 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}}$$であり、$${P^{-1}= \frac{1}{3}\begin{pmatrix} -1 & * & * \\ 0 & * & * \\ 1 & * & * \end{pmatrix}}$$である。よって、
$$
\begin{aligned}
x(t) &= e^{At}x(0) \\
&= P e^{\Lambda t} P^{-1} x(0) \quad (\Lambda = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & a+3b & 0 \\ 0 & 0 & a+3b \end{pmatrix}) \\
&= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2e^{at} + e^{(a+3b)t} \\ -e^{at} + e^{(a+3b)t} \\ -e^{at} + e^{(a+3b)t} \end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
これは、$${b=0}$$の場合も含む。よってこれが求める解である。
(iii)
解説
(ii)の結果から直ちに求まる。
解答
(ii)の結果より、求める必要十分条件は、
$$
a<0,\quad a+3b<0
$$
である。
(iv)
解説
$${a, b, n}$$の条件なのか、任意の$${n}$$について〜が成り立つような、$${a, b}$$の条件なのか、問題文の指示が曖昧だが、前者として受け取るのが妥当と思われる。固有値が負であれば、0に収束すること(十分性)は言えるが、非負なら0に収束しないこと(必要性)の議論が難しい。$${n\times n}$$行列Pの逆行列を求め、e^(a+nb)tの係数が0でないことを示せばよいが、Pの逆行列を全て求める必要はなく、P^-1 x(0)のみ求めればよい。(これは単純な連立方程式を解けば求まる。)また、x(t)も全ては求める必要はなく、第一成分のみ求めれば必要性を示せる。原理的には易しいが、いかに計算量を減らす工夫を凝らして、議論するかと言う問題であり、実は良問と言える。
解答
まず、「$${a<0}$$かつ$${a+nb<0}$$」が必要条件であることを示す。$${x(t)}$$の第1成分を求める。(i)で求めた$${P}$$について、$${P^{-1}x(0)}$$を求める。$${y=(y_1, y_2, \dots, y_n)^T=P^{-1}x(0)}$$とすると、$${Py=x(0)}$$、つまり
$$
\begin{aligned}
-(n-1)y_1 + y_2 + y_3 + \dots + y_n &= 1 \\
y_1 - (n-1)y_2 + y_3 + \dots + y_n &= 0 \\
\vdots \\
y_1 + y_2 + \dots - (n-1) y_{n-1} +y_n &= 0 \\
y_1 + y_2 + \dots + y_{n-1} + y_n &= 0
\end{aligned}
$$
を解くと、$${y_1 = -\frac{1}{n}}$$、$${y_i=0}$$ ($${i=2, 3, \dots, n-1}$$)、$${y_n = \frac{1}{n}}$$である。
よって、
$$
\begin{aligned}
x(t) &= P e^{\Lambda t} P^{-1} x(0) \\
&= P e^{\Lambda t} y \\
&= P \begin{pmatrix}
e^{at} & 0 & \dots & 0 \\
0 & e^{at} & \dots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & e^{at}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
-\frac{1}{n} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \frac{1}{n}
\end{pmatrix} \\
&= \frac{1}{n} \begin{pmatrix}
(n-1)(e^{at} + e^{(a+nb)t}) \\ * \\ \vdots \\ *
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$
よって、$${x(t)}$$の第1成分が$${t \to \infty}$$で$${0}$$に収束するためには、$${a<0}$$かつ$${a+nb<0}$$である必要がある。
逆に、(i)の結果より、$${x(t)}$$の各成分は、$${e^{at}}$$と$${e^{(a+nb)t}}$$の線形結合である。$${a<0}$$かつ$${a+nb<0}$$であれば、$${x(t)}$$の各成分は$${t \to \infty}$$で$${0}$$に収束する。
よって、「$${a<0}$$かつ$${a+nb<0}$$」が求める必要十分条件である。
#京大 #京都大学 #京大院試 #京大情報学研究科数理工学コース #京都大学大学院
#微分方程式
#数学 #大学数学 #外部院試 #院試過去問 #院試対策 #院試解答 #大学院入試 #大学院試験 #理系大学院 #情報系
この記事が気に入ったらサポートをしてみませんか?