【院試解答】 京都大学 情報学研究科 数理工学コース サンプル問題B 凸最適化

【院試解答】 京都大学 情報学研究科 数理工学コース サンプル問題B 凸最適化

問題は京都大学 大学院情報学研究科 数理工学コース 大学院入試サンプル問題にあります。
京都大学情報学研究科京都大学情報学研究科数理工学コースの筆記試験、専門科目「凸最適化」のサンプル問題B解答例です。もし誤字・脱字や、解答の誤りを見つけた場合には、連絡いただけると対応します。
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総評

＜難易度評価＞ 易、やや易、標準、やや難、難の5段階評価。
(i)やや易、(ii)標準、(iii)難、(iv)やや易〜標準

＜解答のポイント＞
KKT条件、凸性、正定値行列について幅広く問われる問題。これまでの過去問に比べても、難しい部類に入ると思われる。(iii)は、正定値行列や直行行列などの、線形代数の知識も深く問われるため難しい。なお、(iii), (iv)は独立した問題なので、(iii)が解けなくても(iv)は解けるようになっている。これは、問題ごとの仮定が異なることからもわかる。

以下、ベクトルであっても太字では書かないこととする。また、$${I}$$を単位行列、$${O}$$を零行列とし、$${||\cdot||}$$をユークリッドノルムとする。つまり$${|x|=\sqrt{x^\top x}\quad (x\in\mathbb{R}^n)}$$である。

(i)

解説

超頻出のKKT条件を書く問題。今、制約式はベクトルで表記されているが、実質的には制約が$${m}$$個あるので、$${m}$$個のラグランジュ乗数を用いてKKT条件を書くことになる。ベクトルで表記されている時は、常にベクトルの形を意識して式変形を行うこと。