【院試解答】 京都大学 情報学研究科 数理工学コース 2022 力学系数学

令和3(2021)年8月6日に実施された、京都大学情報学研究科京都大学情報学研究科数理工学コース（令和4(2022)年度4月期入学修士課程）の筆記試験、専門科目「力学系数学」の解答例です。もし誤字・脱字や、解答の誤りを見つけた場合には、連絡いただけると対応します。
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問題は京都大学 大学院情報学研究科 修士課程過去入学試験問題（夏期実施分）にあります。

総評

＜難易度評価＞ 易、やや易、標準、やや難、難の5段階評価。

(i)やや易、(ii)標準〜やや難、(iii)標準、(iv)難

＜解答のポイント＞
常微分方程式及び力学系数学では、「有理式」が頻出である。有理式とは、「多項式/多項式」の形でかける式のことである。一見、微分方程式論の内容がなくとも、その場の式変形で解けるようにも見えるが、各種の式変形及び(iv)では、微分方程式論の知識が必要である。典型解法を抑えているのみでは、なかなか難しい問題である。

以下、ベクトルであっても太字では書かないこととする。また、$${I}$$を単位行列、$${O}$$を零行列とする。また、$${\frac{dx}{dt}}$$を$${\dot{x}}$$と書く。

(i)

解説

愚直に解を代入していく。「必要十分条件」を求めるので、きちんと十分性も確認すること。