【共通テスト】MSEが共通テスト(数学)を解いてみた(前編)

今年から、センター試験が共通テストという名前に変わりましたね。センター試験を通ってきた身としては、内容がどの程度変わっているのか気になるじゃないですか。
というわけで、唯一今でも何とかなりそうな数学だけ、ちょっと解いてみることにしました。今回は数学Iの前半部分です。

え？MSEって何かって？ますたーおぶさいえんすえんじにありんぐの略ですよ！工学修士の意地見せたります！

問題は以下サイトを参考にさせて頂きました。

共通テスト2023 数学Ⅰ問題｜共通テスト解答速報2023｜予備校の東進

第1問
【1】(1)
c＝1のとき、①は
2x^2＋x―10＝0なので、因数分解すると、
(2x＋5)(x―2)＝0
ア:2
イ:5
ウ:2

【1】(2)
c＝2のとき、①は
2x^2＋5x―5＝0なので、二次方程式の解の公式より、

x＝―5±√25＋40／4
＝―5±√65／4
エ:5
オ:6
カ:5
キ:4

大きい方の解をαとすると、
α＝―5＋√65／4
5／α＝4×5／√65―5
右辺の分母分子に √65＋5を掛けると、
5／α ＝20×√65＋5／(√65―5)(√65＋5)
5／α＝√65＋5／2
ク:5
ケ:6
コ:5
サ:2

√65は8と9の間の数なので、
m < 5／α < m＋1を満たす整数mは6である。
シ:6

【1】(3)
①の二次方程式の解の公式の根号の中は、
(4c―3)^2―4×2×(2c^2―c―11)
＝16c^2―24c＋9―16c^2＋8c＋88
＝―16c＋97
c＝1のとき、81(＝9^2)
c＝2のとき、65(≠平方数)
c＝3のとき、49(＝7^2)
c＝4のとき、33(≠平方数)
c＝5のとき、17(≠平方数)
c＝6のとき、1(＝1^2)
c＝7以上のとき、根号の中は負となる。
よって、解が有理数となるcの個数は3である。
ス:3

【2】(1)
Cは(AまたはB)かつ(AかつB)でないので、
セ:2

【2】(2)
Cに含まれない15以下の3の倍数は6と12なので、
ソ:6
タ:1
チ:2

Cの中で3の倍数でないものは2,5,7,11,13。よってBの要素数は6,12を合わせて7つ。最大は13。
ツ:7
テ:1
ト:3

pは3の倍数でないBの要素(2,5,7,11,13)。
qは(5,7,11,13)。
よってpはqであるための必要条件。(自信なし！)
ナ:0

問1からすっきりしてよく出来た問題だなあ！集合の要素が提示されてベン図に当てはめる形式はちょっと経験にないかも。

というわけで第1問の自己採点結果は20点／20点満点でした！

第２問
うわ～三角関数や、、助けて、、、

(1)
3^2＋4^2＝5^2の美しいアレね。
ア:4
イ:5
△ABCの面積と△AIDの面積はsinAが等しいのでどちらも1／2×6×5×4／5＝12。どうでもいいけど参考図の辺の長さと与えられた線分の長さが合ってないから混乱する。
ウ:1
エ:2
オ:1
カ:2

正方形BFGCの面積は必殺技余弦定理より、
a^2＝b^2＋c^2―2bc×cosA
＝36＋25―60×3／5
＝25

キ:2
ク:5

(2)
A＝90゜のときは三平方の定理が成り立つから0だね。Aが鋭角ならば、一番長い辺が短くなるから直感的に負になりそう。
ケ:2
コ:0
サ:1

(3)
辺の長さが同じ、sinAの値が同じなら、面積一緒やない？
シ:3

(4)
六画型DEFGHIの面積は、これまで求めた4つの三角形と3つの正方形の面積の合計。
4×(1／2×b×c×sinA)＋b^2＋c^2＋b^2＋c^2―2bc×cosA
＝2bc×sinA＋2b^2＋2c^2― 2bc×cosA
＝2{b^2＋c^2＋bc(sinA―cosA)}
ス:1

(5)
Aが鋭角なら対称角は鈍角だからID>BCよね。
セ:2
ソ:2

A,B,Cが全て鋭角ならば、少なくとも外側の三角形の外接円の半径は△ABCのそれよりはデカイはず。
タ:0

Cだけ鈍角ならば、Cの対称角(鋭角)を持つ△CGHが最小かな。
チ:3

(6)
内接円かあ。直感的にさっきと逆の大小関係になりそうだけど、今度は半径が大きい方だから、結果同じやろ！
ツ:0
テ:3

ド定番の余弦定理と直感的な空間把握能力が問われてますなあ。

というわけで、第２問自己採点の結果は30点／30満点でした！余裕やな！

まさかの前半満点折り返し。最終結果はどうなる？(後編に続く)