今更だけどモンティホール問題について書いてみました

ふと昔考えてたことを書いてみようと思いました。
有名なモンティホール問題についてなんですが、自分なりにできるだけ簡単に説明できたらいいなと、誰かの役に立てればいいなと思い書いてみることにしました。

モンティホール問題とは

〇ある番組で司会者と挑戦者がいる。
〇3つの扉のうち1つはアタリで2つはハズレである
〇挑戦者は一つ扉を選ぶ
〇司会者モンティは答えを知っており、挑戦者が選ばなかった扉を1つ開ける（開ける扉は必ずハズレを選ぶ）この時開けられていない扉は挑戦者の　選んだ扉と、モンティが開けなかった扉の二つである。
〇挑戦者は残り二つから選びなおすことができる。この場合はどちらの扉を選ぶ方が得か？

というものなんですが、結構議論になったようです。なんだかややこしくて正解がわかりにくいですね。

ここではできるだけ簡素化して考えてみようと思います。

検証①

・最初に一つ選んだあと必ずもう片方を選択することにする。これを絶対のルールとしてで考えていきましょう。
最初に選んだ扉をＡ、選択しなおした扉をＢとすれば、
・Ａを決定したあと、必ずＢを選択する。といえばわかりやすいでしょうか。
ここではまずＢについて考えてみましょう。
Ｂとは、Ａ以外です。そんなことわかってると言いたいでしょうが、この問題に混乱している方は本当の意味でわかってるでしょうか？
Ｂとは、挑戦者が決定した扉Ａを除く集合体だと一度考えてみましょう。
例えば、ア、イ、ウと扉があったとして、挑戦者がアを選んだときはイ+ウが集合体Ｂになります。同じく挑戦者がイの時はアウ、ウのときはアイが集合体Ｂになります。
ここで、集合体Ｂにアタリがあった場合、ハズレをモンティが消去してくれるので、Ｂはかならずアタリになります。つまり、集合体Ｂにアタリがある場合は、必ずＢがアタリになります。
最初の選択でＡにハズレを決定すれば必ずＢがアタリになります。
上のルールＡを決定したあと、必ずＢを選択する。に則ると、
最初にハズレさえ引けば、100％正解します。
では、Ａがアタリだった場合どうなるかというと、集合体Ｂにアタリは存在しません。
上のルールＡを決定したあと、必ずＢを選択する。に則ると
最初にアタリを引けば正解率は0％です。

・最初に引くＡがハズレだと100％正解
・最初に引くＡがアタリだと0％

つまり、あとは最初に決定するＡがハズレの確率が何％か？アタリの確率は何％か？それだけを計算すれば良いということになります。だって、その後は確率100か0で、計算なんかする必要なく、決定事項として紐づけされてるんですから。
ここまでくればあとは簡単ですね。
もっと簡単に言い換えるとこういう言葉になります。
・Ａを設定する。この時のアタリの確率を考えましょう。
こう言いかえると簡単ですね。Ａを設定する時の確率だけに焦点をあてます。

Ａがハズレの確率は2/3（66.66…％）
Ａがアタリの確率は1/3（33.33…％）

Aがハズレの確率が高い→Bがアタリの確率が高い

検証②

最終的に２択なのだからＡがアタリの確率を求めるとＢ＝100－Ａ％である

これは検証①をもっと単純化した言葉で言い換えただけなので、検証①とまったく同じです。でも、ここまで単純化したらわかりやすいと思います。

Ａがアタリの確率は1/3

Ｂがアタリの確率は1-1/3＝2/3

つまり、モンティホール問題は、選びなおした方が正解の確率が高いということになります。

なぜ混乱してしまうのか

以下に私なりに考えたものを紹介します。かなり思いつきなので、ゆる～く呼んでください。
1　あめちゃん理論による思考阻害
2　扉が3つという混乱しやすい数
3　脳内でのイメージ処理が言語的処理に近くなり混乱を招く

以下説明です。

1　あめちゃん理論による思考阻害

・あめちゃん理論

タカシ君はあめちゃんを舐めて買い物に行きました。
１個５０円のリンゴを２個と１個１００円の桃を１個買いました。タカシ君はいくら払ったでしょう？

タカシ君はあめちゃんを舐めずに買い物に行きました。
１個５０円のリンゴを２個と１個１００円の桃を１個買いました。タカシ君はいくら払ったでしょう？

いや、あめちゃん関係ないじゃん！

ここで、タカシ君があめちゃんを舐めた時と、あめちゃんを舐めない時で場合分けして計算する人いませんよね？
本来関係ないことを思考に加えてしまうことを私はあめちゃん理論と勝手に呼んでいます。正確に言うとあめちゃん思考阻害の方がいいかもしれませんが。

モンティホール問題を考えてみたときに、下のような場合分けがあげられます。、

①ＡがアタリでBを選択した場合
②ＡがハズレでBを選択した場合
③ＡがアタリでAを選択した場合
④ＡがハズレでAを選択した場合

これら4種類を計算しても同じになるはずです。それができる（暗算や計算機使用どちらでもかまいませんが、少なくとも計算式を組み立てる能力が必要です）方はやってみていいと思いますが、ここで私が言いたいのは、モンティホール問題はもっと単純で小学生の算数ができれば簡単に理解できるんですよってことなんです。

検証ではＡ→Ｂをルールとしましたが、上の場合分け①と③は、表裏の関係です。最終的にＡかＢの2択にしかならないのですから、③で正解の確率％＝100-①％、同じく④で正解の確率％＝100－②％です。そして、2択ということは、どちらかの確率を求めるだけでいいのです。例えば、コインを投げて裏か表かを確率計算するとき、片方の確率だけ計算してもう片方は100から引けばいいだけです。もしコインが少しいびつで50％50％にならないとしても、片方の確率を求めて、もう片方は100から引くだけで答えは求められるはずです。（ここで縦になるとか溝に落ちて無くなったとか話題に出すのは野暮ですよ）
アタリはどちらかに必ずある。アタリがない時の場合分けはしなくて良い。つまり
もう一度言いますが、

モンティホール問題は単なる2択の問題です。

でも余計なものとかを勝手に追加することで混乱してしまうんですね。
Aを選んだ方が得かBを選んだ方が得かその中だけで計算していいはずです。
もう少し詳しく言うと、「Bの方はなんだかややこしくてわかんない。」
それでいいんです。
2択である以上、Aの方だけ計算しましょ。で、2択なので、B＝100－A％です。
こんな単純な計算でいいんです。しかし本来計算しなくて良いものまで勝手に思考に加えてしまう。これがあめちゃん理論です。（と勝手に私が呼んでいます）

2　扉が3つという混乱しやすい数

・１００個なら分かりやすいが、３個なのが絶妙にわかりにくくさせている。

例えばこれが100個の中から選ぶのであれば、もっと感覚的にもわかりやすいでしょう。
しかし、3つの扉から選ぶというのが、感覚を狂わせてしまっていると思います。
ここで図解入りで説明したいのですが、PC使いこなせないので、興味がある方は検索してみてください。目で見て解りやすく説明してくださる方がたくさんおられます。

3　脳内でのイメージ処理が言語的処理に近くなり混乱を招く

・脳内の処理

もともとはアタリの扉の裏には新車、ハズレにはヤギと表現されてるそうですが、脳内で思考する場合、新車＝アタリ＝正解、ヤギ＝ハズレ＝不正解とごっちゃになている可能性があります。言葉にするとこんな感じでしょうか。
・最初に不正解の扉を選ぶ確率が高いため、その後選びなおした方が正解する確率が高い。
・最初に不正解の扉を選びその後正解する確率が高い。
・不正解の扉を選ぶと正解になる。正解の扉を選ぶと不正解になる。
上の４種類で例えてみると
1　正解の扉を選んだあとにＡが正解の確率（Ｂが不正解の確率）
2　正解の扉を選んだ後にＡが不正解の確率（Ｂが正解の確率）
3　不正解の扉を選んだ後にＡが正解の確率（Ｂが不正解の確率）
4　不正解の扉を選んだ後にＡが不正解の確率（Ｂが正解の確率）

なんだか正解という言葉ががゲシュタルト崩壊しそうです。

ちょっと言葉遊びみたいになってしまいましたが、より脳内イメージに近い表現をするとこうなるでしょうか。正解→〇　不正解→×

1　〇の扉を選んだあとにＡが〇の確率（Ｂが×の確率）
2　〇の扉を選んだ後にＡが×の確率（Ｂが〇の確率）
3　×の扉を選んだ後にＡが〇の確率（Ｂが×の確率）
4　×の扉を選んだ後にＡが×の確率（Ｂが〇の確率）

これでも混乱してきますよね。
このように、新車、アタリ、正解、ヤギ、ハズレ、不正解がごっちゃになって混乱しているように思えます。
新車＝アタリ＝正解、ヤギ＝ハズレ＝不正解が正しい表現方法でないと思いますが
新車＝アタリ≠正解、ヤギ＝ハズレ≠不正解が正しい表現ともいえず、正確に言うと、
新車＝アタリ　　ヤギ＝ハズレ
と
クイズに正解するもしくは不正解になる
は全く別物なんです。しかし、脳内では前述のような思考をしてしまうことが混乱を招く原因の一部ではないかと思います。

以上が私が考える混乱の原因ですが、正直脳内処理については自信がありません、私の勝手な妄想のように思います。しかし、あめちゃん理論と3つという数に関してはそんなに遠い推測ではないように思います。みなさんはどうお考えでしょうか。

色々知りたい方は、「モンティホール問題」で検索するとたくさんあります。

今回の記事が多少なりともみなさんのお役にたてればと思います。
ここまで目を通していただきありがとうございました。