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数学者でも無ければ大学生でも無い。 マニアックすぎる内容かもだけど、面白い数学を伝えた…

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数学者でも無ければ大学生でも無い。 マニアックすぎる内容かもだけど、面白い数学を伝えたい！
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ガウスの乗積表示を使わずに、ワイエルシュトラウスの乗積表示を導出|ミューラーの公式

ワイエルシュトラウスの乗積表示とは、 という、ガンマ関数の乗積表示のこと。 大体ガウスの乗積表示を使って導出されるが、今回は使わずにいきます。 証明ガンマ関数の漸化式 を、対数微分すると ガンマ関数の対数微分を$${\psi(x)}$$とすると、(ディガンマ関数と言う) 変形すると 1から$${n}$$まで和をとる ここで一旦、調和級数に注目 ミューラーの公式より、 ディガンマ関数を使うと、 両辺$${n}$$で0から$${x}$$まで積分 一様収束する(

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    • ガンマ関数とメリン変換|ガンマ関数で様々な関数を積分表示

      今回はガンマ関数の留数の性質をつかって、様々な関数を、ガンマ関数を含んだ積分で表します。 この記事では複素積分を扱います。留数定理がわかればいける。 そして、留数と、ガンマ関数のメリン逆変換を知った方には、最後の考察まで見てほしいです！ 最後が一番話したい内容。 ガンマ関数の留数計算極の位置と位数 ガウスの乗積表示を見ればすぐに分かる。 分子の指数関数に極はない。 分母は$${x}$$が0以下の整数なら、$${N}$$を大きくすれば0になるので、極になる。 $${x

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      • 被積分関数にガンマ関数が含まれる積分

        今回は被積分関数にガンマ関数が含まれる積分を紹介します。具体的にはログガンマの原始関数。 積分表示はやたら有りますが、残念ながら、 申し訳ないけど、私の知る限りガンマ関数単体の原始関数、実数の積分の閉じた形は無さそう。(未解決なのか？) 積分一覧今回はログガンマの積分のみ解説しますが、 次回ではガンマ関数の留数の性質を解説していきます。 取り敢えず今回、次回で扱うもの含めた積分一覧どうぞ ログガンマの積分(ラーべの公式) ただし、$${n\in\mathbb{N}}$$

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        • ガンマ関数を無限級数で表したい

          今回は積分表示されがちなガンマ関数を、級数(厳密に言うと関数項級数？)で表現したいと思います。 今回紹介するガンマ関数の級数表示は自分で発見したので、またも厳密じゃないとこが含まれるかもしれません。 また、最後が重要なので読み切ってください。 方法流れは前回の記事と同じで、積分の代わりに和分、微分の代わりに差分を使って、階乗を一般化することにより、ガンマ関数に繋げていきます。 前回の記事を読まないと結構わかりにくいかもです、、！ 和分差分和分とは、数列を足し算していくこ

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        ガウスの乗積表示を使わずに、ワイエルシュトラウスの乗積表示を導出|ミューラーの公式

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          ガンマ関数　どうやって積分表示を見つけた？

          ガンマ関数とは、 で、定義される関数で、 $${\Gamma(n)=(n-1)! \qquad n \in \mathbb{N}}$$ が成り立つ、正の実軸で対数凸な唯一の解析関数です。 積分表示の導出？ここではガンマ関数の豊富な性質は一旦置いといて、階乗の一般化という性質にだけ注目。 定義が既に積分表示だけど、階乗の一般化を考える上でなんでそれを思いついたか気になる。 ここでは階乗から積分表示の導出を考えたい！ 階乗が出てくる時数学をやってて階乗が出てくるのはどんな

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