積(んでみると)分(かる)
日差しの気持ちいい晴れやかな朝、オフトンからさわやかに積分のお話をお送りいたします。
ということで、
の続きです。
●変化率と面積
それでは、「縦×横」と、「変化率から元のグラフを求める」事がどうつながるか?
[図1]
結論から言ってしまうと、上図の左側のグラフがある関数の「微分」、
すなわち変化率の推移
(→これについては
を参照)
を表すとすると、その
スプレーをかけた部分の面積が右側のグラフの"A"部分の高さになる
と言うことです。で、この"A"を、
f ( x ) の「積分値」と呼び、∫f ( x ) dx で表す(計算する)
と言うことです。(「言うことです」が多いなぁ。。。)
で、「不定積分」と呼ばれるものには、
積分定数(初期値)"C"
と言うのが出てきます。これは、積分して求まった値"A"というのは、
もとのグラフが「どれだけ変化したか」
しか表さないのであり、
「どの値から変化したか」が分からないので取りあえず"C"とおこう
と言う意味なのです。("C"は、Constant「定数」の頭文字です。)
「とりあえずビールで!」
みたいなノリですね。
だから、積分して定数"C"が出てくると言うのは話が逆なんですね。
さて、問題は
なんで面積"A"が「元のグラフの変化」になるのか
ですが、考えやすいように、下のような簡単なグラフで実際に「積分」をしてみましょう。(難しい計算は出てこないので大丈夫です。)
[図2]
上の図の場合は、もともと底辺が"1"に揃えてあるので、
面積 = 高さ
となるので、これよりただちに、
xが"1"進むごとにどれだけ増えるか
がわかります。すなわち「元のグラフ」を画けば、以下のようになります。
[図3]
はい、まずは「積分定数」を
「取りあえず"C"とおく」
です。ここで、
求めた面積の分、xが"1"進むごとにグラフが登る
と考えても良いのですが、ここでは
面積がそのまま高さ
だったので、
[図2]の (a), (b), (c), をブロック
と考え、図のように対角線を引いて、それをどんどん積み上げて行く
(正確には、下のブロックの「右上のへり」と、上のブロックの「左下のへり」を階段状にくっつける)
と考えても良いですね。
それでは、
底辺が"1"でない場合はどうすんだ?
ということですが、そろそろ二度寝の時間なのでまた次回!
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