細かく刻んでまっすぐと見る
どもです。白井でごぜます。どこの人だよ。
最近、外に出るときには極力、服を着るようにしています。
てことで、積分の
の続きです。
●底辺が"1"でない場合もタテ×ヨコ
前回は、f ( x ) のグラフのブロックの底辺が1の時は、そのまま
(ブロックの高さ)=(xが"1"進んだ時の元のグラフF ( x )の変化)
とできて、それは丁度ブロックを積み上げたような形になるという話でした。そこで今日は、
ブロックの底辺が「まちまち」だった場合
についてお話します。
[図1]
上のf ( x )を積分して、元のグラフF ( x )を求める事を考えます。
(a)の部分を見てみると、f ( x ) は"6"ですが、この値と言うのは飽くまで
「xが"1"進んだ時F ( x )が"6"増える」
という意味で、この場合は
xの進みが"0.5"なので、F ( x )の増分は
"6"に"0.5"を掛けて"3"
と言う事になります。わかりやすいように、
f ( x )を「時速」、xを「時間」
としてみましょう。すると、
求めるF ( x )は「距離」
になりますね。
(a)の部分では、時速6km/hで進んでいる事になります(おそ!)。で、xが"0.5"進んでいるわけですから、6km/hで0.5時間(30分)走ったことになります。すなわち、距離F ( x )は、
6km/h×0.5h = 3km
という事ですね。(とても当たり前の事を、くどく言っているだけです。)このとき、この計算というのは、
縦が"6"、横が"0.5"の長方形(a)の面積
を求めた事と同じになります。同様に、(b)(c)を求めてグラフを書けば、下のようになります。
[図2]
まずは例によって、「取りあえず"C"」でしたね。そして、
a:xが"0.5"進む間に、"6×0.5 = 3"上昇
b:xが"2"進む間に、"4×2 = 8"上昇
c:底辺"1"なので、そのまま"5"上昇
になります。これらは全て、「縦×横」になっていますね。
●「ブロックの積み上げ」で考える
さて、これを前の例でやったように、「ブロック積み上げ」で考えるとどういうことになるでしょうか。
何度も言うように、(a)のブロックで考えてみると、f ( x )の"6"という値は、xの進みが1の時のF ( x )の増分です。つまり、
(a)のブロックの底辺がもし1だったら、高さ"6"がそのままF ( x )の増分であった
わけです。実際には(a)の底辺は"0.5"なので、
その分縮めたブロックの高さ
がF ( x )の増分を表す事になります。(下図)
[図3]
(b)のブロックは、逆に
底辺が"2"から"1"になるまで縮めてやってから、対角線にそって引き伸ばし
てやればよいのです。
要するに「接線」からグラフを求めている
ここで面白い事が分かります。それは、
f ( x )の「高さ」 = F ( x )の「高さ」/「底辺」
となっていることです。つまり、f ( x )を「F ( x )の変化率」と見た時は、f ( x )というのは
あらかじめ「底辺」で割ってある値
なのであり、「縦×横」を利用して「f ( x )のグラフ」と「x軸」に挟まれた部分の面積を求めたものが、F ( x )の高さ(すなわち前回の最初の図)であるわけです。例えばさっきの例で、
「時速」(f ( x )の高さ) = 「距離」/「時間」(F ( x )の「高さ」/「底辺」)
ですね。考えてみると何ともバカみたいな話ですが、積分はこれが核になっていて、これ以上のものではないのです。
つまり「積分」とは、
f ( x )を、F ( x ) の「微分値」すなわち、グラフf ( x )をF ( x )の「接線」と見て、元のグラフF ( x )の形を求める
という事に相当します。
●一般の曲線のグラフについて
さて、それでは
曲線のグラフについてはどうなのか?
ですが、
でやったように、
細かく区切って「長方形」に見なす
わけです。
すなわち、上図のように求める面積の区間を細かく分割してやります。こうすると、
曲線が「区分的」に平
になり、求める区間の面積は
長方形の面積の「和」
になり、「縦×横」に帰着できるわけです。このとき、
"⊿x"を極限まで微小に区切った量を、"dx"と書く
ことにして、この
極めて微小な面積"f ( x ) dx"を足し合わせて行くことを、"∫f ( x ) dx"と書く
ことにしたわけです。
●ちょっと発展的な話
この、
微小区間で平と見なす
という手法は、微積分の常套手段であり、例えば「全微分」というは
d f (x, y) = (∂f /∂x ) dx + (∂f /∂y ) dy
ですが、これは「曲面の高さf (x, y)」の
微小区間"d f(x, y)"を平面と見なす
事で、下図のようにして考えているわけです。
●まとめ
こうして「面積」と「変化量」という2つのものは
実は数学的に同じ事
であり、「微分」と「積分」が
互いに逆の演算
であることが把握され、ニュートンとライプニッツによって「微分積分法」の基本定理が確立されたのは、17世紀末の事でした。
以上で微分と積分の話は終わりです。めでたしめでたし。(何が?
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