中学受験算数『容器と水量攻略法』
こんにちは。三上圭です。札幌の塾で中学受験の算数を指導しています。
今日のテーマは『容器と水量』です。
このブログで扱っている問題とその解答、解説動画のまとめページはこちらからどうぞ。（まとめページの教材にはブログで扱えなかった問題も入っています！）
このテーマで大切なことは
・正面から見た図を書いて、条件を整理する
です。いずれの解説でも、正面から見た図を用いて説明しています。
入れたものが完全に水の中に沈む問題
たて20cm、横30cm、高さ18cmの直方体の形をした容器に、16cmの深さまで水が入っています。この容器に石を完全に沈めたところ、水が300cm3だけこぼれました。
（１）この石の体積は何cm3ですか。
（２）（１）のあとに、沈めた石を取り出しました。石を完全に取り出したあとの水面の高さは何cmですか。ただし、石を取り出すときに水はこぼれなかったものとします。
※以降、cm3は立方センチメートル、cm2は平方センチメートルを表します。
正面から見た図に整理しましょう。
（１）
この図では、横の長さを底面積の値で考えると便利です。
いまは20×30＝600cm2 を横の長さにしています。
あと1200cm3入る状態で石を入れると300cm3こぼれるのだから、この石の体積は1500cm3だとわかるでしょう。
ここで完全に沈むときのポイントですが
『ものが完全に沈む問題は、同じ体積の水を入れたと考えて良い』
ということです。もうちょっと簡単に言うと
体積1500cm3の石を入れることと、体積1500cm3の水を入れることは、結果として変わらないということです。
（２）今度は石を取り出します。
完全に沈んでいた石1500cm3は、水1500cm3と変わりません。
なので、満水の状態から水を1500cm3取り出せばＯＫ。
図のようになり、15.5cmが求められます。
と、いろいろと書きましたが、解説動画がありますのでこちらをどうぞ。
では次の問題に進みます。
入れたものが水面からはみ出している問題
容器と水量で多いのはこの出題だと思います。棒やおもりを順番に入れていく問題です。
図１のような直方体の水そうに、水面の高さが6cmのところまで水を入れました。
（１）（図２）の直方体をＡの面が真上を向いた状態で水そうの底につくまで入れました。このとき、水面の高さは何cmになりますか。
（２）（図２）の直方体をＢの面が真上を向いた状態で水そうの底につくまで入れました。このとき、水面の高さは何cmになりますか。
（１）
Ａの面を上に向けると、（図２）の直方体は完全に沈みます。同じ体積の水を入れたのと同じ！と考えてＯＫです。
つまり12×10×6の体積の水を、底面積が20×15の容器に入れればいいから
（12×10×6）÷（20×15）＝2.4cm上がる。
６＋2.4＝8.4cmが答えです。
（２）
今度はＢの面を上に向けます。（図２）の直方体は一部が水面から上にはみ出すことになります。こんなときは
『どこかとどこかの体積（図の中では面積）が同じ！』
と考えていきます。
『押しのけた部分の体積』＝『見かけ上増える部分の体積』
と言葉で書いても難しいので、図にすると「同」と「じ」の部分のことを言っています。
もとは水があったところに直方体が入るので、その部分の水がおしのけられて『ニョロ』っと右上に出てくるイメージです。
（このとき、入れるものはどちらかの端に寄せて書くとイメージしやすくなると思います！）
ここで図の「同」「じ」の部分の横の長さの比が１：４だとわかっているので、たての長さの比は４：１になります。（面積が同じだから、たてと横の比が逆比になる）
それぞれ①と④と置くと、④が6cmとわかります。水面が上昇した①の分は①＝６÷４＝1.5cmですから、水面は全部で６＋1.5＝7.5cmになりますね。
※アップ当時、⑤＝6cmで①＝1.2cmという誤りがございました。大変申し訳ございません。現在は正しい表記になっております。
動画もぜひご覧ください！『速さ』や『容器と水量』のように変化を追いかける問題では、出来上がりの図だけを見ても意味がわからないことがあります。順を追って「なぜこういう図になるのか」を理解していくことが大切だと思います！
では３問目。ぜひ取り組んでもらいたい重要な問題です。
入れたものが水面からはみ出している問題（練習問題）
底面積が250cm2で、深さが20cmの円柱の容器と、底面積が50cm2で、高さが15cmの直方体のおもりが２個あります。いま、容器に深さ10cmまで水を入れました。
（１）直方体のおもり１個を容器の底に立てると、水の深さは何cmになりますか。
（２）（１）のあと、おもりもう１個を容器の底に立てると、水の深さは何cmになりますか。
（解説は省略します）
答えは（１）12.5cm （２）16 cm です。
（２）が分数になった人は、なぜ間違えたのか動画でチェック！
容器を傾ける問題
容器と水量には、いままでのように「物を沈める・入れる問題」のほかに、今回扱う「容器を傾ける問題」や「じゃ口から水を入れていく問題」などがあります。
図１のように一辺が12cmの立方体の形をした水そうに５cmの深さまで水が入っています。この水そうを、底面の１つの辺を床につけたまま水がこぼれないように傾けたところ、図２のようになりました。
（１）図２の χ の長さは何cmですか。
（２）さらに水そうを傾けていくと、180cm3の水が水そうからこぼれて、図３のようになりました。図３のｙの長さは何cmですか。
（１）
この容器の底面積は12×12＝144cm2なので、（図１）で正面から見たときの水の面積は144×５＝720になります。
これは（図２）で見ても同じなので、144× χ ÷２＝720と考えてＯＫです。
あとは計算すると、χ＝10cmと求められます。
（２）
180cm3がこぼれたということは、（図３）で見えている面積は
720－180＝540 になります。
１つ注意して欲しいのは、ｙは横の長さであって底面積ではないことです。容器の奥行、高さがともに12cmとわかっているので、
底面積（ｙ×12）×高さ（12）÷２＝見える面積（540）と考えて
ｙ×12×12÷２＝540 を計算すると ｙ＝7.5cm になります。
最後に
容器と水量では
・正面から見た図に条件を整理する
ことが解法の第一歩です。積極的に図を書いて頑張っていきましょう！
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