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中学受験算数『容器と水量攻略法』

こんにちは。三上圭です。札幌の塾で中学受験の算数を指導しています。
今日のテーマは『容器と水量』です。
このブログで扱っている問題とその解答、解説動画のまとめページはこちらからどうぞ。(まとめページの教材にはブログで扱えなかった問題も入っています!)

このテーマで大切なことは
・正面から見た図を書いて、条件を整理する
です。いずれの解説でも、正面から見た図を用いて説明しています。

入れたものが完全に水の中に沈む問題

たて20cm、横30cm、高さ18cmの直方体の形をした容器に、16cmの深さまで水が入っています。この容器に石を完全に沈めたところ、水が300cm3だけこぼれました。
(1)この石の体積は何cm3ですか。
(2)(1)のあとに、沈めた石を取り出しました。石を完全に取り出したあとの水面の高さは何cmですか。ただし、石を取り出すときに水はこぼれなかったものとします。
※以降、cm3は立方センチメートル、cm2は平方センチメートルを表します。

正面から見た図に整理しましょう。
(1)

画像1

この図では、横の長さを底面積の値で考えると便利です。
いまは20×30=600cm2 を横の長さにしています。

あと1200cm3入る状態で石を入れると300cm3こぼれるのだから、この石の体積は1500cm3だとわかるでしょう。

ここで完全に沈むときのポイントですが
『ものが完全に沈む問題は、同じ体積の水を入れたと考えて良い』
ということです。もうちょっと簡単に言うと
体積1500cm3の石を入れることと、体積1500cm3の水を入れることは、結果として変わらないということです。

(2)今度は石を取り出します。
完全に沈んでいた石1500cm3は、水1500cm3と変わりません。
なので、満水の状態から水を1500cm3取り出せばOK。

画像2

図のようになり、15.5cmが求められます。

と、いろいろと書きましたが、解説動画がありますのでこちらをどうぞ。

では次の問題に進みます。

入れたものが水面からはみ出している問題

容器と水量で多いのはこの出題だと思います。棒やおもりを順番に入れていく問題です。

図1のような直方体の水そうに、水面の高さが6cmのところまで水を入れました。
(1)(図2)の直方体をAの面が真上を向いた状態で水そうの底につくまで入れました。このとき、水面の高さは何cmになりますか。
(2)(図2)の直方体をBの面が真上を向いた状態で水そうの底につくまで入れました。このとき、水面の高さは何cmになりますか。

画像3

(1)
Aの面を上に向けると、(図2)の直方体は完全に沈みます。同じ体積の水を入れたのと同じ!と考えてOKです。

つまり12×10×6の体積の水を、底面積が20×15の容器に入れればいいから
(12×10×6)÷(20×15)=2.4cm上がる。
6+2.4=8.4cmが答えです。

(2)
今度はBの面を上に向けます。(図2)の直方体は一部が水面から上にはみ出すことになります。こんなときは
『どこかとどこかの体積(図の中では面積)が同じ!』
と考えていきます。

『押しのけた部分の体積』=『見かけ上増える部分の体積』
と言葉で書いても難しいので、図にすると「同」と「じ」の部分のことを言っています。

画像4

もとは水があったところに直方体が入るので、その部分の水がおしのけられて『ニョロ』っと右上に出てくるイメージです。
(このとき、入れるものはどちらかの端に寄せて書くとイメージしやすくなると思います!)

ここで図の「同」「じ」の部分の横の長さの比が1:4だとわかっているので、たての長さの比は4:1になります。(面積が同じだから、たてと横の比が逆比になる)

それぞれ①と④と置くと、合計の⑤が6cmとわかります。水面が上昇したのは①の分の①=1.2cmですから、水面は6+1.2=7.2cmになりますね。

動画もぜひご覧ください!『速さ』や『容器と水量』のように変化を追いかける問題では、出来上がりの図だけを見ても意味がわからないことがあります。順を追って「なぜこういう図になるのか」を理解していくことが大切だと思います!

では3問目。ぜひ取り組んでもらいたい重要な問題です

入れたものが水面からはみ出している問題(練習問題)

底面積が250cm2で、深さが20cmの円柱の容器と、底面積が50cm2で、高さが15cmの直方体のおもりが2個あります。いま、容器に深さ10cmまで水を入れました。
(1)直方体のおもり1個を容器の底に立てると、水の深さは何cmになりますか。
(2)(1)のあと、おもりもう1個を容器の底に立てると、水の深さは何cmになりますか。

(解説は省略します)
答えは(1)12.5cm (2)16 cm です。
(2)が分数になった人は、なぜ間違えたのか動画でチェック!

容器を傾ける問題

容器と水量には、いままでのように「物を沈める・入れる問題」のほかに、今回扱う「容器を傾ける問題」や「じゃ口から水を入れていく問題」などがあります。

図1のように一辺が12cmの立方体の形をした水そうに5cmの深さまで水が入っています。この水そうを、底面の1つの辺を床につけたまま水がこぼれないように傾けたところ、図2のようになりました。
(1)図2の χ の長さは何cmですか。
(2)さらに水そうを傾けていくと、180cm3の水が水そうからこぼれて、図3のようになりました。図3のyの長さは何cmですか。

画像5

(1)
この容器の底面積は12×12=144cm2なので、(図1)で正面から見たときの水の面積は144×5=720になります。
これは(図2)で見ても同じなので、144× χ ÷2=720と考えてOKです。
あとは計算すると、χ=10cmと求められます。

(2)
180cm3がこぼれたということは、(図3)で見えている面積は
720-180=540 になります。
1つ注意して欲しいのは、yは横の長さであって底面積ではないことです。容器の奥行、高さがともに12cmとわかっているので、
底面積(y×12)×高さ(12)÷2=見える面積(540)と考えて
y×12×12÷2=540 を計算すると y=7.5cm になります。

最後に

容器と水量では
・正面から見た図に条件を整理する
ことが解法の第一歩です。積極的に図を書いて頑張っていきましょう!


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札幌の『四谷大塚NET』で中学受験算数の指導をしています。札幌近郊の私立中対策だけでなく全国の学校の対策を行っています。札幌にいながらにして全国水準の教育サービスを提供できるように日々奮闘中です。 2人の男子(5歳・1歳)の父です。趣味は旅行。妻は旅行会社勤務。
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