位相と論理と私1：読み始めたyo（pp.1-4）

位相とブール代数を扱っているようです．ブール代数は「論理の代数化を目指して創始された」らしいです．今は第１章を読んだところ．簡素な記述で、基本的には定義−命題–証明の流れで議論が進みます．自力で行間を埋めるべきところがちょっと多めにありますが，大体は定義を理解できていれば簡単に示すことができ，良い練習になります．以下、本に書かれていることをかいつまんで説明します（pp.1-4）．

lower set

集合論、同値関係、順序関係の解説の後、lower setというものが定義される．
順序集合$${P}$$と、その部分集合$${S}$$において、

$$
s\in S, t\le s\implies t\in S 
$$

が成り立つとき、$${S}$$をlower setであるという．訳語はないのですね．ある元$${s}$$が$${S}$$に属するなら、$${s}$$以下の元たちも$${S}$$に属するということ．

lower setは、この章を通じてずっと登場する、重要な基礎概念であるようです．lower setの例として以下があります．

$$
\darr(a)=\{s\in P \mid s\le a\}\\\darr(Q)=\bigcup_{a\in Q}\darr(a)
$$

upper setについても同様です．

join

順序集合に対し、上界と最小上界は何かという説明があります．この本では、$${a}$$が部分集合$${S}$$の最小上界であるとき、$${a}$$は$${S}$$のjoinと呼んでいます．$${a=\lor S}$$と書きます．joinも日本語訳にはせず英語のまま通すようです．

$${a}$$が$${S}$$のjoinであるなら，$${\forall s\in S, s\le b\iff a\le b}$$という条件を満たします．逆に，このような条件を満たす$${a}$$があれば，それが$${S}$$のjoinです．

$${\lor\varnothing}$$は最小元です．そのことは、上述の「$${\forall s\in S, s\le b\iff a\le b}$$」が「$${\forall s(s\notin S\lor s\le b)\iff a\le b}$$」と書き換えられることからわかります．つまり，空集合$${\varnothing}$$に対しては，どんな元$${s}$$に対しても$${s\notin\varnothing}$$となるので，上述の条件を満たす$${a}$$があるなら，それは最小限であるとなるわけです．

最小元が存在すればそれを0と書きます．

半束

順序集合$${A}$$のすべての有限部分集合がjoinをもつとき、半束（semilattice）という．

私は束というものを今まで勉強したことがなく、初めての束論となります．抽象的過ぎて分からなくなったら、べき集合族を例にして考えると良いです．

まとめ

今回は，lower setとjoinの定義をおさえればよいです．
（つづく）

2022/2/7：改題しました．