tan1° cos1° sin1°は有理数か+α

どもども、
今日やっていくのは受験生ならみんな知っている超有名問題をやっていきます

2006年京都大学後期〜〜〜！！

大学入試問題で1番文が短いという話があるようです。

この問題ぱっと見で有理数ではなさそうですよね　
そんな時に使うのが背理法(仮定法)です。
無理数を証明したい時は背理法(仮定法) 覚えて帰りましょう

tan1°は有名角でも無いのでtanの加法定理を使えば有名角まで有理数である事を証明できそうなのでそのままやっていきます

背理法を使えば簡単に矛盾を導けましたので簡単に無理数であることを示しました。

ということで本題である

cos1° sin1°は有理数なのか

をやっていきたいと思います！

まずはcos1°から、同じく加法定理で！って思ったのですが
tanの加法定理とは違ってcosの加法定理はsinも出てきちゃいます
cosだけの式が欲しいのでここは2倍角公式を使うことで
うまくいけそうです　
これも先ほどと同様に有名角まで有理数と導けたら背理法で完了です

ということで2倍角公式を使えばcos2°は有理数となったので
あとはcosの加法定理を利用して帰納的に30°まで有理数であると
導けたので証明完了です。
裏技として
チェビシェフ多項式の定理から簡単に30°までいけます

続いてはラスト

sin1°は有理数か

sinに関係する式はcosが絡んでくるので
あまり綺麗では無いのですが
sin1°が有理数のときcos1°も有理数であることを示せば
sinが関係する式を使ってゴリ押しで矛盾に導けそうです

ということでsin1°が有理数ならcos1°も有理数となり
cos30°も有理数となったので仮定が間違っている
→sin1°は無理数であることを示せました。

+α
sin1(rad)は有理数か

こちらは高校数学の範囲では出来ないので
大学範囲までいきましょう
使うのはTyler展開だけです
まずは自己解答から

まず
p < 4n+1
の説明をします。
こちらはTyler展開した分数の式の正部分の分母を見てください
+5！　+9！　+13！……のように
4n+1で表せるようにしている為用いてます。

最後ですね
nが自然数であるから
0 < a < b < 1
となります
A+a > A , A+b > A
なので中辺がAとなるとき矛盾するので
等号成立する時は中辺が有理数でないとき
すなわちsin1(rad)が有理数ではないとわかります。

どうでしたでしょうか
やはり数学は研究してこそのものだと思うので
解き終わった問題でももっと搾り尽くすように
研究するのも良いんじゃないでしょうか！？