商の微分②

商の微分です。

$$
( \space \frac{f(x)}{g(x)} \space )'= \frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{ \{ g(x) \}^2 }
$$

①

・積の微分

$$
( \space f(x)g(x) \space )' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
$$

・逆数関数の微分

$$
\{\frac{1}{g(x)} \}' = -\frac{g'(x)}{ \{ g(x) \}^2 } 
$$

を利用。

$$
\{\frac{f(x)}{g(x)} \}' = \{ f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} \}' \\ \space \\ = f'(x) \cdot \frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \{\frac{1}{g(x)} \}' \\ \space \\ = f'(x) \cdot \frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \{-\frac{g'(x)}{ \{ g(x) \}^2 } \} \\ \space \\ = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{ \{ g(x) \}^2 } \space //
$$

②

・積の微分

を利用。

$$
y=\frac{f(x)}{g(x)} \\ \space \\ y \space g(x) = f(x) \\ \space \\ \frac{d}{dx} \{ \space y \space g(x) \space \} = \frac{d}{dx} f(x) \\ \space \\ y' \space g(x) + y \space g'(x) = f'(x) \\ \space \\ y' \space g(x) + \frac{f(x)}{g(x)} \cdot \space g'(x) = f'(x) \\ \space \\ y' \space \{ g(x) \}^2 + \space f(x) g'(x) = f'(x) g(x) \\ \space \\ y' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{ \{ g(x) \}^2 } \space //
$$