行列のトレースに関する真偽判定

[問題]
$${n}$$次正方行列$${A,B}$$に対して、$${\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)}$$は必ず成立します。では、$${n}$$次正方行列$${A,B,C}$$に対して、$${\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(BAC)}$$は必ず成立する、と言えるでしょうか。

線形代数に関する簡単なクイズです。$${n}$$次正方行列$${X}$$に対し、$${X}$$の対角成分の和を$${X}$$のトレース（trace）と呼びます（日本語では跡（せき）と言います）。問題文の$${\mathrm{tr}(AB)=\mathrm{tr}(BA)}$$はトレースの有名な性質の$${1}$$つですが、この式を少し拡張（？）して得られる$${\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(BAC)}$$は必ず成り立つでしょうか。考えてみてください！答は、以下のツイートの下にあります。

[線形代数クイズ]
n次正方行列A,B,Cに対して、tr(AB)=tr(BA)は必ず成立します。では、tr(ABC)=tr(BAC)はどうでしょうか？

— 大澤裕一 (@HirokazuOHSAWA) August 30, 2023

正解は、「成立しない場合もある」です。反例は以下の通りです。

なお、$${\mathrm{tr}(XY)=\mathrm{tr}(YX)}$$（$${X,Y}$$は$${n}$$次正方行列）を用いて得られる$${\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(CAB),\mathrm{tr}(ABC)=\mathrm{tr}(BCA)}$$どは正しいです。

■重回帰分析（線形代数が沢山登場します！）を学習しているときに、上記の話を思いつきました。