有名な積分公式の「確率を用いた」証明、および「ある和」の求め方への応用

有名な積分公式の「確率（順序統計量）を用いた」証明です。（(1)）

上の考え方を「数列の和」に持ち込むことで、
$${\displaystyle S(p,q)=\sum_{k=1}^{n} k(k+1)(k+2)\cdots(k+p-1)\cdot(n+1-1)(n+2-k)\cdots(n+q-k)}$$
を「場合の数による意味付け」で求めることが出来ます。
（3行目から4行目に変形できる理由が分かりますか？ ）

また、この積分公式を「部分積分の繰り返し」で求める方法を「数列の和」に持ち込むことで、$${S(p,q)}$$を「部分和分の繰り返し」で求めることが出来ます。